用拼图理解乘法公式的教案

2018-08-18教案

  用拼图理解乘法公式

  初中生对符号的抽象性把握不够,乘法公式只能凭法则加以推算,学生对法则的将信将疑无以验证,拼图的出现无疑是一场及时雨,不仅可以使学生头脑中的疑雾顿散,而充分体现、渗透了数形结合的数学思想。请看下面几例:

  一、用拼图理解公式的几何意义

  理解1 将边长为a的正方形纸片的剪出一个边是为b

  理解2 将边长分别a、b的两个正方形和长宽为a、b的两个全等矩形拼成一个正方形。(1)怎样拼?(2)用不同形式表示拼成正方形面积,你觉得以此可验证什么公式?

  分而算之: 总而算之:

  理解3 将大小相同的4块长、宽分别为a、b(ab)长方形纸片拼成如图形状,从中你能发现(a+b)2与(a-b)2关系吗?

  事实上,大正方形边长为a+b,小正方形边长为a-b,

  大正方形面积 =(a+b)2,小正方形面积 =(a-b)2

  (a+b)2 = (a-b)2+4ab,或者(a+b)2 -4ab = (a-b)2或者(a+b)2 -(a-b)2=4ab

  二、典例剖析

  例1在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(ab),再沿虚线剪开,如

  图1(1),然后拼成一个梯形,如图1(2),根据这两个图形的面积关系,表明下列式子成立的是( ).

  A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2

  C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a-b)2

  分析:从这个题目的条件中可以看出,把图1(1)图形经过剪切成为第图1(2)图形,得到一个等腰梯形,它的面积为(上底+下底)高2,上底为2b,下底为2a,高为a-b,所以面积为:(2b+2a)(a-b)2=a2-b2,所以答案为:A.

  例2如图2(1),阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积,即_____.

  若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置,则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式:_____.

  如图2(2),大正方形的面积可以表示为____,也可以表示为S=SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ,同时S=____,.从而验证了完全平方公式:_____ .

  分析:本题考查利用图形解释平方差和完全平方公式,体现数形几何思想。

  如图2(1),阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积,即a2-b2;

  若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置,则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.

  如图2(2),大正方形的面积可以表示为(a+b)2,也可以表示为S=SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ,同时S=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.

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