数学函数应用测试题
函数应用测试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1.函数f(x)=x2-3x-4的零点是 ()
A.(1，-4) B.(4，-1)
C.1，-4 D.4，-1
解析：由x2-3x-4=0，得x1=4，x2=-1.
答案：D
2.今有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则体现这些数据关系的最佳函数模型是 ()
A.u=log2t B.u=2t-2
C.u=t2-12 D.u=2t-2
解析：把t=1.99，t=3.0代入A、B、C、D验证易知，C最近似.
答案：C
3.储油30 m3的油桶，每分钟流出34 m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为 ()
A.[0，+) B.[0，452]
C.(-，40] D.[0,40]
解析：由题意知Q=30-34t，又030，即0 30-34t30，040.
答案：D
4.由于技术的提高，某产品的成本不断降低，若每隔3年该产品的价格降低13，现在价格为8 100元的产品，则9年后价格降为 ()
A.2 400元 B.900元
C.300元 D.3 600元
解析：由题意得8 100(1-13)3=2 400.
答案：A
5.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是 ()
A.(-2，-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析：f(-1)=2-1+3(-1)=12-3=-520，
f(0)=20+30=10.
∵y=2x，y=3x均为单调增函数，
f(x)在(-1,0)内有一零点
答案：B
6.若函数y=f(x)是偶函数，其定义域为{x|x0}，且函数f(x)在(0，+)上是减函数，f(2)=0，则函数f(x)的零点有 ()
A.唯一一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断
解析：根据偶函数的单调性和对称性，函数f(x)在(0，+)上有且仅有一个零点，则在(-，0)上也仅有一个零点.
答案：B
7.函数f(x)=x2+2x-3，x0，-2+lnx，x0的零点个数为 ()
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：由f(x)=0，得x0，x2+2x-3=0或x0，-2+lnx=0，
解之可得x=-3或x=e2，
故零点个数为2.
答案：C
8.某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元 (不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费
()
A.1.00元 B.0.90元
C.1.20元 D.0.80元
解析：y=0.2+0.1([x]-3)，([x]是大于x的最小整数，x0)，令x=55060，故[x]=10，则y=0.9.
答案：B
9.若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ()
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x-12)
解析：令g(x)=0，则4x=-2x+2.画出函数y1=4x和函数y2=-2x+2的图像如图，可知g(x)的零点在区间(0,0.5)上，选项A的零点为0.25，选项B的零点为1，选项C的零点为0，选项D的零点大于1，故排除B、C、D.
答案：A
10.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)，如f(2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图像，实线表示y=f(x )，虚线表示y=g(x)，其中可能正确的.是 ()
解析：A选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对，而B选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确.D选项中平均价格不可能越来越高，排除D.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是________.
解析：f(x)=x3-2x-5，
f(2)=-10，f(3)=160，f(2.5)=5.6250，
∵f(2)f(2.5)0，
下一个有根区间是(2,2.5).
答案：(2,2.5)
12.已知mR时，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点，则实数a的取值范围是________.
解析：(1)当m=0时，
由f(x)=x-a=0，
得x=a，此时aR.
(2)当m0时，令f(x)=0，
即mx2+x-m-a=0恒有解，
1=1-4m(-m-a)0恒成立，
即4m2+4am+1 0恒成立，
则2=(4a)2-440，
即-11.
所以对mR，函数f(x)恒有零点，有a[-1 ,1].
答案：[-1,1]
13.已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速 度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是________.
解析：从A地到B地，以60 km/h匀速行驶，x=60t，耗时2.5个小时，停留一小时，x不变.从B地返回A地，匀速行驶，速度为50 km/h，耗时3小时，故x=150-50(t-3.5)=-50t+325
所以x=60t，02.5，150， 2.5
答案 ：x=60t，02.5150， 2.5
14.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用 电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.568
超过50至200的部分 0.598
超过200的部分 0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.288
超过50至2 00的部分 0.318
超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答).
解析：高峰时段电费a=500.568+(200-50)0.598=118.1(元).
低谷时段电费b=500.288+(100-50)0.318=30.3(元).故该家庭本月应付的电费为a+b=148.4(元).
答案：148.4
三、解答题(本大题共4小题，共50分)
15.(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M= 14x，N=34x-1(x1).今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品 的资金投入分配应是多少? 共能获得多大利润?
解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8-x)万元，共获得利润
y=M+N=14(8-x)+34x-1.
令x-1=t(07)，则x=t2+1，
y=14(7-t2)+34t=-14(t-32)2+3716.
故当t=32时，可获最大利润3716万元.
此时，投入乙种商品的资金为134万元，
甲种商品的资金为194万元.
16.(12分)判断方程2ln x+x-4=0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解?
解：令f(x)=2ln x+x-4.
因为f(1)=2ln 1+1-4=-30，f(e)=2ln e+e-4=e -20，
所以f(1)f(e)0.
又函数f(x)在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，
所以函数f(x)在(1，e)内存在零点，即方程f(x)=0在(1，e)内存在实数解.
由于函数f(x)=2ln x+x-4在定义域(0，+)上为增函数，所以函数f(x)在(1，e)内只存在唯一的一个零点.
故方程2ln x+x-4=0在(1，e)内只存在唯一的实数解.
17.(12分)某商品在近100天内，商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下：
f(t)=t4+22， 040，tZ，-t2+52， 40
销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是
g(t)=-t3+1123(0100，tZ).
求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高?
解：依题意，该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)=f(t)g(t)
=t4+22-t3+1123， 040，tZ，-t2+52-t3+1123， 40
(1)若040，tZ，则
F(t)=(t4+22)(-t3+1123)
=-112(t-12)2+2 5003，
当t=12时，F(t)max=2 5003(元)
(2)若40
F(t)=(-t2+52)(-t3+1123)
=16(t-108)2-83，
∵t=108100，
F(t)在(40,100]上递减，
当t=41时，F(t)max=745.5.
∵2 5003745.5，
第12天的日销售额最高.
18.(14分)某商场经营一批进价为12元/个的小商品.在4天的试销中，对此商品的单价(x)元与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
x 16 20 24 28
y 42 30 18 6
(1)能否找到一种函数，使它反映y关于x的函数关系?若能，写出函数解析式;
(2)设经营此商品的日销售利润为P(元)，求P关于x的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润P取最大值?最大值是多少?
解： (1)由已知数据作图如图，
观察x，y的关系，可大体看到y是x的一次函数，令
y=kx+b.当x=16时，y=42;x=20时，y=30.
得42=16k+b， ①30=20k+b， ②
由②-①得-12=4k，
k=-3，代入②得b=90.
所以y=-3x+90，显然当x=24时，y=18;
当x=28时，y=6.
对照数据，可以看到y=-3x+90即为所求解析式;
(2)利润P=(x-12)(-3x+90)=-3x2+126x-1 080=-3(x-21)2+243.
∵二次函数开口向下，
当x=21时，P最大为243.
即每件售价为21元时，利润最大，最大值为243元.
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