指数函数和对数函数练习题

2020-06-25试题

  一、选择题

  1.下列函数:①y=3x2(xN+);②y=5x(xN+);③y=3x+1(xN+);④y=32x(xN+),其中正整数指数函数的个数为()

  A.0B.1C.2D.3

  【解析】 由正整数指数函数的定义知,只有②中的函数是正整数指数函数.

  【答案】 B

  2.函数f(x)=(14)x,xN+,则f(2)等于()

  A.2 B.8

  C.16 D.116

  【解析】 ∵f(x)=(14x)xN+,

  f(2)=(14)2=116.

  【答案】 D

  3.(2013阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4),则它的解析式为()

  A.y=(-2)x B.y=2x

  C.y=(12)x D.y=(-12)x

  【解析】 设y=ax(a>0且a1),

  由4=a2得a=2.

  【答案】 B

  4.正整数指数函数f(x)=(a+1)x是N+上的减函数,则a的取值范围是()

  A.a B.-10

  C.01 D.a-1

  【解析】 ∵函数f(x)=(a+1)x是正整数指数函数,且f(x)为减函数,

  0a+11,

  -10.

  【答案】 B

  5.由于生产电脑的成本不断降低,若每年电脑价格降低13,设现在的电脑价格为8 100元,则3年后的价格可降为()

  A.2 400元 B.2 700元

  C.3 000元 D.3 600元

  【解析】 1年后价格为

  8 100(1-13)=8 10023=5 400(元),

  2年后价格为

  5 400(1-13)=5 40023=3 600(元),

  3年后价格为

  3 600(1-13)=3 60023=2 400(元).

  【答案】 A

  二、填空题

  6.已知正整数指数函数y=(m2+m+1)(15)x(xN+),则m=______.

  【解析】 由题意得m2+m+1=1,

  解得m=0或m=-1,

  所以m的值是0或-1.

  【答案】 0或-1

  7.比较下列数值的大小:

  (1)(2)3________(2)5;

  (2)(23)2________(23)4.

  【解析】 由正整数指数函数的单调性知,

  (2)3(2)5,(23)2(23)4.

  【答案】 (1) (2)

  8.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a吨,由此预测,该区下一年的垃圾量为________吨,2020年的垃圾量为________吨.

  【解析】 由题意知,下一年的垃圾量为a(1+b),从2012年到2020年共经过了8年,故2020年的垃圾量为a(1+b)8.

  【答案】 a(1+b) a(1+b)8

  三、解答题

  9.已知正整数指数函数f(x)=(3m2-7m+3)mx,xN+是减函数,求实数m的值.

  【解】 由题意,得3m2-7m+3=1,解得m=13或m=2,又f(x)是减函数,则01,所以m=13.

  10.已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27),

  (1)求函数f(x)的解析式;

  (2)求f(5);

  (3)函数f(x)有最值吗?若有,试求出;若无,说明原因.

  【解】 (1)设正整数指数函数为f(x)=ax(a0,a1,xN+),因为函数f(x)的图像经过点(3,27),所以f(3)=27,即a3=27,解得a=3,所以函数f(x)的`解析式为f(x)=3x(xN+).

  (2)f(5)=35=243.

  (3)∵f(x)的定义域为N+,且在定义域上单调递增,

  f(x)有最小值,最小值是f(1)=3;f(x)无最大值.

  11.某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个,分裂所需时间忽略不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数y是研究时间t的函数,记作y=f(t).

  (1)写出函数y=f(t)的定义域和值域;

  (2)在坐标系中画出y=f(t)(06)的图像;

  (3)写出研究进行到n小时(n0,nZ)时,细菌的总个数(用关于n的式子表示).

  【解】 (1)y=f(t)的定义域为{t|t0},值域为{y|y=2m,mN+)};

  (2)06时,f(t)为一分段函数,

  y=2,02,4,24,8,46.

  图像如图所示.

  (3)n为偶数且n0时,y=2n2+1;

  n为奇数且n0时,y=2n-12+1.

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