参考高中数学测试题

2020-06-26试题

  1、.按右图所示的流程,输入一个数据x,根据y与x的关系式就输出一个数据y,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求:

  (Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间;

  (Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大。

  (1)若y与x的关系是y=x+p(100-x),请说明:当p=时,这种变换满足上述两个要求;

  (2)若按关系式y=a(x-h)2+k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式。(不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程)

  解:(1)当P=时,y=x+,即y=。

  ∴y随着x的增大而增大,即P=时,满足条件(Ⅱ)……3分

  又当x=20时,y==100。而原数据都在20~100之间,所以新数据都在60~100之间,即满足条件(Ⅰ),综上可知,当P=时,这种变换满足要求;……6分

  (2)本题是开放性问题,答案不唯一。若所给出的关系式满足:(a)h≤20;(b)若x=20,100时,y的对应值m,n能落在60~100之间,则这样的关系式都符合要求。

  如取h=20,y=,……8分

  ∵a>0,∴当20≤x≤100时,y随着x的增大…10分

  令x=20,y=60,得k=60

  ①

  令x=100,y=100,得a×802+k=100 ②

  由①②解得,

  ∴。………14分

  2、(2007年常德市第26题).如图11,已知四边形是菱形,是线段上的任意一点时,连接交于,过作交于,可以证明结论成立(考生不必证明).

  (1)探究:如图12,上述条件中,若在的延长线上,其它条件不变时,其结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(5分)

  (2)计算:若菱形中,在直线上,且,连接交所在的直线于,过作交所在的`直线于,求与的长.(7分)

  (3)发现:通过上述过程,你发现在直线上时,结论还成立吗?(1分)

  解:(1)结论成立··········· 1分

  证明:由已知易得

  ∴··················· 3分

  ∵FH//GC

  ∴············ 5分

  (2)∵G在直线CD上

  ∴分两种情况讨论如下:

  ①

  G在CD的延长线上时,DG=10

  如图3,过B作BQ⊥CD于Q,

  由于ABCD是菱形,∠ADC=60,

  ∴BC=AB=6,∠BCQ=60,

  ∴BQ=,CQ=3

  BG=········ 7分

  又由FH//GC,可得

  而三角形CFH是等边三角形

  ∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH

  ∴,∴FH=

  由(1)知

  FG=·········· 9分

  ②

  G在DC的延长线上时,CG=16

  如图4,过B作BQ⊥CG于Q,

  由于ABCD是菱形,∠ADC=600,

  ∴BC=AB=6,∠BCQ=600,

  ∴BQ=,CQ=3

  ∴BG==14………………………………11分

  又由FH//CG,可得

  ∴,而BH=HC-BC=FH-BC=FH-6

  ∴FH=

  又由FH//CG,可得

  ∴BF=

  ∴FG=14+············· 12分

  (3)G在DC的延长线上时,

  所以成立

  结合上述过程,发现G在直线CD上时,结论还成立. 13分

  3、(郴州市2007年第27题).如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD沿对角线AC平移,平移后的矩形为EFGH(A、E、C、G始终在同一条直线上),当点E与C重合时停止移动.平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCMH的面积,表示矩形NFQC的面积.

  (1) S与相等吗?请说明理由.

  (2)设AE=x,写出S和x之间的函数关系式,并求出x取何值时S有最大值,最大值是多少?

  (3)如图11,连结BE,当AE为何值时,是等腰三角形.

  解:(1)相等

  理由是:因为四边形ABCD、EFGH是矩形,

  所以

  所以 即:

  (2)AB=3,BC=4,AC=5,设AE=x,则EC=5-x,

  所以,即

  配方得:,所以当时,

  S有最大值3

  (3)当AE=AB=3或AE=BE=或AE=3.6时,是等腰三角形(每种情况得1分)

  4、(德州市2007年第23题).(本题满分10分)

  已知:如图14,在中,为边上一点,,,.

  (1)试说明:和都是等腰三角形;

  (2)若,求的值;

  (3)请你构造一个等腰梯形,使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形.(标明各角的度数)

  解:(1)在中,,

  .··················· 1分

  在与中,;

  ,

  .

  ··················· 2分

  .

  和都是等腰三角形.4分

  (2)设,则,即.·············· 6分

  解得(负根舍去).················· 8分

  5、(2007年龙岩市第25题).(14分)如图,抛物线经过的三个顶点,已知轴,点在轴上,点在轴上,且.

  (1)求抛物线的对称轴;

  (2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;

  (3)探究:若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点坐标;不存在,请说明理由.

  解:(1)抛物线的对称轴·············· 2分

  (2) ················ 5分

  把点坐标代入中,解得·········· 6分

  ················· 7分

  (3)存在符合条件的点共有3个.以下分三类情形探索.

  设抛物线对称轴与轴交于,与交于.

  过点作轴于,易得,,,

  ①

  以为腰且顶角为角的有1个:.

  ················ 8分

  在中,

  ··················· 9分

  ②以为腰且顶角为角的有1个:.

  在中, 10分

  ············ 11分

  ③以为底,顶角为角的有1个,即.

  画的垂直平分线交抛物线对称轴于,此时平分线必过等腰的顶点.

  过点作垂直轴,垂足为,显然.

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