高考文科数学二轮复习题导数及其应用专题

2020-06-28试题

高考文科数学二轮复习题导数及其应用专题

  一、选择题

  1.函数f(x)=12x2-ln x的单调递减区间为 ( ).

  A.(-1,1] B.(0,1]

  C.[1,+∞) D.(0,+∞)

  解析 由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由f′(x)=x-1x≤0,解得0<x≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1].

  答案 B

  2.(2014全国新课标Ⅱ卷)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( ).

  A.0 B.1

  C.2 D.3

  解析 令f(x)=ax-ln(x+1),则f′(x)=a-1x+1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)=a-1.又切线方程为y=2x,则有a-1=2,∴a=3.

  答案 D

  3.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf′(x)<0的解集为( ).

  A.-∞,12∪12,2

  B.-∞,0∪12,2

  C.-∞,12∪12,+∞

  D.-∞,12∪2,+∞

  解析 xf′(x)<0x>0,f′x<0或x<0f′x>0.

  当x∈12,2时,f(x)单调递减,此时f′(x)<0.

  当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,此时f′(x)>0.故选B.

  答案 B

  4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内,则实数a的取值范围是 ( ).

  A.(0,2] B.(0,2)

  C.[3,2) D.(3,2)

  解析 由题意可知f′(x)=0的两个不同解都在区间(-1,1)内.因为f′(x)=3x2+2ax+1,所以根据导函数图象可得Δ=2a2-4×3×1>0,-1<-2a6<1,f′-1=3-2a+1>0,f′1=3+2a+1>0,又a>0,解得3<a<2,故选D.

  答案 D

  5.(2013浙江卷)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则 ( ).

  A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值

  B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值

  C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值

  D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值

  解析 当k=1时,f′(x)=exx-1,f′(1)≠0,

  ∴f(1)不是极值,故A,B错;

  当k=2时,f′(x)=(x-1)(xex+ex-2),

  显然f′(1)=0,且x在1的左侧附近f′(x)<0,

  x在1的右侧附近f′(x)>0,

  ∴f(x)在x=1处取得极小值.故选C.

  答案 C

  6.(2014潍坊模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3f(30.3),b=logπ3f(logπ3),c=log319flog319,则a,b,c间的大小关系是 ( ).

  A.a>b>c B.c>b>a

  C.c>a>b D.a>c>b

  解析 设g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)<0(x<0),∴当x<0时,g(x)=xf(x)为减函数.

  又g(x)为偶函数,∴当x>0时,g(x)为增函数.

  ∵1<30.3<2,0<logπ3<1,log319=-2,

  又g(-2)=g(x),∴g(-2)>g(30.3)>g(logπ3),

  即c>a>b.

  答案 C

  二、填空题

  7.(2013江西卷)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)=________.

  解析 设ex=t,则x=ln t(t>0),

  ∴f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x,

  ∴f′(x)=1x+1,

  ∴f′(1)=2.

  答案 2

  8.(2014江西卷)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.

  解析 设P(x0,y0),∵y=e-x,∴y′=-e-x,

  ∴点P处的切线斜率为k=-e-x0=-2,

  ∴-x0=ln 2,∴x0=-ln 2,

  ∴y0=eln 2=2,

  ∴点P的坐标为(-ln 2,2).

  答案 (-ln 2,2)

  9.(2014盐城调研)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值为________.

  解析 依题意知f′(x)=12x2-2ax-2b,

  ∴f′(1)=0,即12-2a-2b=0,∴a+b=6.

  又a>0,b>0,∴ab≤a+b22=9,当且仅当a=b=3时取等号,∴ab的最大值为9.

  答案 9

  10.已知函数f(x)=aln x+x在区间[2,3]上单调递增,则实数a的取值范围是________.

  解析 ∵f(x)=aln x+x.∴f′(x)=ax+1.

  又∵f(x)在[2,3]上单调递增,∴ax+1≥0在x∈[2,3]上恒成立,∴a≥(-x)max=-2,∴a∈[-2,+∞).

  答案 [-2,+∞)

  11.(2013新课标全国Ⅰ卷)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是________.

  解析 由题意知f0=f-4,f-1=f-3,

  即b=-15×16-4a+b,0=9-3a+b,解得a=8,b=15,

  所以f(x)=(1-x2)(x2+8x+15),

  则f′(x)=-4(x+2)(x2+4x-1).

  令f′(x)=0,得x=-2或x=-2-5或x=-2+5,

  当x<-2-5时,f′(x)>0;

  当-2-5<x<-2时,f′(x)<0;

  -2<x<-2+5时,f′(x)<0;

  当x>-2+5时,f′(x)<0,

  所以当x=-2-5时,f(x)极大值=16;

  当x=-2+5时,f(x)极大值=16,所以函数f(x)的最大值为16.

  答案 16

  三、解答题

  12.已知f(x)=ex-ax-1.

  (1)求f(x)的.单调增区间;

  (2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围.

  解 (1)∵f(x)=ex-ax-1(x∈R),∴f′(x)=ex-a.令f′(x)≥0,得ex≥a.当a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立;当a>0时,有x≥ln a.

  综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)的单调增区间为(ln a,+∞).

  (2)由(1)知f′(x)=ex-a.∵f(x)在R上单调递增,

  ∴f′(x)=ex-a≥0恒成立,即a≤ex在R上恒成立.

  ∵x∈R时,ex>0,∴a≤0,

  即a的取值范围是(-∞,0].

  13.(2014西安五校二次联考)已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x,a∈R.

  (1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;

  (2)求f(x)的单调区间.

  解 f′(x)=ax-(2a+1)+2x(x>0).

  (1)由题意得f′(1)=f′(3),解得a=23.

  (2)f′(x)=ax-1x-2x(x>0).

  ①当a≤0时,x>0,ax-1<0.在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).

  ②当0<a<12时,1a>2.在区间(0,2)和1a,+∞上,f′(x)>0;在区间2,1a上,f′(x)<0.

  故f(x)的单调递增区间是(0,2)和1a,+∞,单调递减区间是2,1a.

  ③当a=12时,f′(x)=x-222x≥0,

  故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).

  ④当a>12时,0<1a<2,在区间0,1a和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间1a,2上,f′(x)<0.

  故f(x)的单调递增区间是0,1a和(2,+∞),单调递减区间是1a,2.

  14.(2014江西卷)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)x,其中a<0.

  (1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;

  (2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.

  解 (1)当a=-4时,由f′(x)=25x-2x-2x=0得x=25或x=2.由f′(x)>0得x∈0,25或x∈(2,+∞),

  故函数f(x)的单调递增区间为0,25和(2,+∞),

  (2)因为f′(x)=10x+a2x+a2x,a<0,

  由f′(x)=0得x=-a10或x=-a2.

  当x∈0,-a10时,f(x)单调递增;当x∈-a10,-a2时,f(x)单调递减;当x∈-a2,+∞时,f(x)单调递增,易知f(x)=(2x+a)2x≥0,且f-a2=0.

  ①当-a2≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±22-2,均不符合题意.

  ②当1<-a2≤4,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]上的最小值为f-a2=0,不符合题意.

  ③当-a2>4,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.

  综上有a=-10.

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