一、选择题
1、(2014?济宁第8题)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m
A. m
【考点】: 抛物线与x轴的交点.
【分析】: 依题意画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)图象草图,根据二次函数的增减性求解.
【解答】: 解:依题意,画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象,如图所示.
函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b(a
方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0转化为(x﹣a)(x﹣b)=1,方程的两根是抛物线y=(x﹣a)(x﹣b)与直线y=1的两个交点.
由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y随x增大而减少
故选A.
【点评】: 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,考查了数形结合的数学思想.解题时,画出函数草图,由函数图象直观形象地得出结论,避免了繁琐复杂的计算.
2、(2014年山东泰安第20题)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
X ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论:
(1)ac<0;
(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.
(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
(4)当﹣10.
其中正确的个数为( )
A.4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【分析】:根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.
【解答】:由图表中数据可得出:x=1时,y=5值最大,所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下,a<0 x="0时,y=3,所以c=3">0,所以ac<0,故(1)正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且对称轴为x= =1.5,∴当x>1.5时,y的值随x值的增大而减小,故(2)错误;
∵x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根,故(3)正确;
∵x=﹣1时,ax2+bx+c=﹣1,∴x=﹣1时,ax2+(b﹣1)x+c=0,∵x=3时,ax2+(b﹣1)x+c=0,且函数有最大值,∴当﹣10,故(4)正确.
故选B.
【点评】:本题考查了二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点,二次函数与不等式,有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.
3、(2014年山东烟台第11题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【分析】:根据抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=﹣3时,函数值小于0,则9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=﹣1时,y=0,则a﹣b+c=0,易得c=﹣5a,所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,再根据抛物线开口向下得a<0 8a="" 7b="" 2c="">0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.
【解答】:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2,∴b=﹣4a,即4a+b=0,所以①正确;
∵当x=﹣3时,y<0,∴9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b,所以②错误;
∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,
而b=﹣4a,∴a+4a+c=0,即c=﹣5a,∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,
∵抛物线开口向下,∴a<0 8a="" 7b="" 2c="">0,所以③正确;
∵对称轴为直线x=2,
∴当﹣12时,y随x的增大而减小,所以④错误.故选B.
【点评】:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0 b="" a="" ab="">0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0 0="" y="" c="" x="" b2="" 4ac="">0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
4、(2014?威海第11题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法:
①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a;④am2+bm+a>0(m≠﹣1).
其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【考点】: 二次函数图象与系数的关系.
【分析】: 由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】: 解:抛物线与y轴交于原点,c=0,故①正确;
该抛物线的对称轴是: ,直线x=﹣1,故②正确;
当x=1时,y=2a+b+c,
∵对称轴是直线x=﹣1,
∴ ,b=2a,
又∵c=0,
∴y=4a,故③错误;
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,
x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c,又x=﹣1时函数取得最小值,
∴a﹣b+c
∵b=2a,
∴am2+bm+a>0(m≠﹣1).故④正确.
故选:C.
【点评】: 本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
5、(2014?宁波第12题)已知点A(a﹣2b,2﹣4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )
A. (﹣3,7) B. (﹣1,7) C. (﹣4,10) D. (0,10)
【考点】: 二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-对称.
【分析】: 把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理,然后根据非负数的性质列式求出a、b,再求出点A的坐标,然后求出抛物线的.对称轴,再根据对称性求解即可.
【解答】: 解:∵点A(a﹣2b,2﹣4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,
∴(a﹣2b)2+4×(a﹣2b)+10=2﹣4ab,
a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab,
(a+2)2+4(b﹣1)2=0,
∴a+2=0,b﹣1=0,
解得a=﹣2,b=1,
∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4,
2﹣4ab=2﹣4×(﹣2)×1=10,
∴点A的坐标为(﹣4,10),
∵对称轴为直线x=﹣ =﹣2,
∴点A关于对称轴的对称点的坐标为(0,10).
故选D.
【点评】: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的对称性,坐标与图形的变化﹣对称,把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键.
6、(2014?温州第10题)如图,矩形ABCD的顶点A在第一象限,AB∥x轴,AD∥y轴,且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,若矩形ABCD的周长始终保持不变,则经过动点A的反比例函数y= (k≠0)中k的值的变化情况是( )
A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
【考点】: 反比例函数图象上点的坐标特征;矩形的性质.
【分析】: 设矩形ABCD中,AB=2a,AD=2b,由于矩形ABCD的周长始终保持不变,则a+b为定值.根据矩形对角线的交点与原点O重合及反比例函数比例系数k的几何意义可知k= AB? AD=ab,再根据a+b一定时,当a=b时,ab最大可知在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,k的值先增大后减小.
【解答】: 解:设矩形ABCD中,AB=2a,AD=2B.
∵矩形ABCD的周长始终保持不变,
∴2(2a+2b)=4(a+b)为定值,
∴a+b为定值.
∵矩形对角线的交点与原点O重合
∴k= AB? AD=ab,
又∵a+b为定值时,当a=b时,ab最大,
∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,k的值先增大后减小.
故选C.
【点评】: 本题考查了矩形的性质,反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质,有一定难度.根据题意得出k= AB? AD=ab是解题的关键.
7、(2014年山东泰安第17题)已知函数y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m
A.m+n<0 b="" m="" n="">0 C.m-n<0 d="" m-n="">0
【分析】: 根据二次函数图象判断出m<﹣1,n=1,然后求出m+n<0,再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可.
【解答】:由图可知,m<﹣1,n=1,所以,m+n<0,
所以,一次函数y=mx+n经过第二四象限,且与y轴相交于点(0,1),
反比例函数y= 的图象位于第二四象限,
纵观各选项,只有C选项图形符合.故选C.
【点评】:本题考查了二次函数图象,一次函数图象,反比例函数图象,观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键.
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