圆的方程复习测试题带解析

2020-07-03试题

圆的方程复习测试题带解析

  圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习,请考生查缺补漏。

  一、填空题

  1.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是________.

  [解析] 设圆心C(a,b)(a0,b0),由题意得b=1.

  又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1,

  解得a=2或a=-(舍).

  所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.

  [答案] (x-2)2+(y-1)2=1

  2.(2014南京质检)已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则圆C的圆心坐标为________.

  [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上,

  该直线过圆心,即圆心满足方程x+y-1=0,

  因此-+1-1=0,解得a=0,所以圆心坐标为(0,1).

  [答案] (0,1)

  3.已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),则该圆的方程是________.

  [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的'直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).

  半径r=2,所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

  [答案] (x-1)2+(y+4)2=8

  4.(2014江苏常州模拟)已知实数x,y满足x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y|的最小值为________.

  [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1,令x=2+cos ,

  y=-3+sin ,则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |

  =|7-sin (-7-(tan =2).

  [答案] 7-

  5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0,b0)对称,则+的最小值是________.

  [解析] 由圆的对称性可得,直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4),所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9,由=,则a2=4b2,又由a+b=2,故当且仅当a=,b=时取等号.

  [答案] 9

  6.(2014南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,若圆x2+(y-1)2=4上存在A,B两点关于点P(1,2)成中心对称,则直线AB的方程为________.

  [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB,所以kOP==1,kAB=-1,

  而直线AB过P点,所以直线AB的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.

  [答案] x+y-3=0

  7.(2014泰州质检)若a,且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a=________.

  [解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,解得-20)关于直线x+y+2=0对称.

  (1)求圆C的方程;

  (2)设Q为圆C上的一个动点,求的最小值.

  [解] (1)设圆心C(a,b),

  由题意得解得

  则圆C的方程为x2+y2=r2,

  将点P的坐标代入得r2=2,

  故圆C的方程为x2+y2=2.

  (2)设Q(x,y),则x2+y2=2,

  =(x-1,y-1)(x+2,y+2)

  =x2+y2+x+y-4=x+y-2.

  令x=cos ,y=sin ,

  =x+y-2=(sin +cos )-2

  =2sin-2,

  所以的最小值为-4.

  10.已知圆的圆心为坐标原点,且经过点(-1,).

  (1)求圆的方程;

  (2)若直线l1:x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点,求b的值;

  (3)求直线l2:x-y+2=0被此圆截得的弦长.

  [解] (1)已知圆心为(0,0),半径r==2,所以圆的方程为x2+y2=4.

  (2)由已知得l1与圆相切,则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2,即=2,解得b=4.

  (3)l2与圆x2+y2=4相交,圆心(0,0)到l2的距离d==,所截弦长l=2=2=2.

  

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