第十届华杯赛总决赛试题及解答

2020-07-04试题

第十届华杯赛总决赛试题及解答

  一、填空(共3题,每题10分)

  1.1000米赛跑,已知甲到达终点时,乙离终点50米;乙到达终点时,丙离终点100米。那么甲到达终点时,丙离终点___米。

  2.三个相邻奇数的积为一个五位数2***3,这三个奇数中最小的是___。

  3.将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数的差,称为一次操作,如对18和42可连续进行这样的操作。则有:18,42→18,24→18,6→12,6→6,6,直到两数相同为止。试给出和最小的两个五位数,按照以上操作,最后得到的相同的数是15,这两个五位数是___与___。

  二、解答题(共3题,每题10分,写出简要解答过程)

  4.右图中,ABCD是边长为1的正方形,A,E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,DA的中点,计算图中红色八边形的面积。

  5.若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品,每人至少买一件,但每人购买的商品的总金额不得超过15元。小民说:小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同。问:至少有多少名小朋友?

  6.A是山脚,B是山顶,C是山坡上的一点,。甲、乙同时从山脚出发,到达山顶,再返回山脚,如此往返运动。甲、乙速度之比为6∶5,并且甲乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍.出发一段时间后,甲第一次在山顶上看见乙在AC段向上爬;又经过一段时间后,甲第二次在山顶上看见乙在AC段向上爬。问:当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时(包括此时),甲到过山顶几次?

  参考答案

  一、填空

  1.145 2.27 3.10005与10020

  二、解答题

  4.红色八边形的面积是1/6

  5.至少有25名小朋友6.甲到过山顶9次

  1.【解】甲跑1000米,乙跑了950米,乙跑1000米,丙跑900米,

  所以甲跑1000米时,丙跑了950×900/1000=855(米),丙距终点1000-855=145(米).

  2.【解】设中间数为n则(n-2)×n×(n+2)=2***3,又知(n-2)×(n+2)<,而=19683,所以,n应大于27,而7×9×1=63,故最小数应为27,27×29×31=24273,符合题意,并且是唯一解.

  3.【解】能被15整除的最小5位数是10005,10005+15=10020,按照题目所给的操作,只需将这两个五位数取为10005和10020,则经过1次操作,较小的数变为15,较大的.数变为10005,再经若干此次操作,较小的数一直不变,较大的数每次减少15,直到较大的数变为30,再经一次操作两个数都变成了15.

  4.【解】如图,易知蓝边正方形面积为,△ABD面积为,△BCD面积为,

  所以△ABC面积为-=,可证AE∶EB=1∶4,

  黄色三角形面积为△ABC的,等于,由此可得,所求八边形的面积是:1/6.

  至此,我们对各部分的面积都已计算出来,如下图所示.

  【又解】设O为正方形中心(对角线交点),连接OE、OF,分别与AF、BG交于M、N,设AF与EC的交点为P,连接OP,△MOF的面积为正方形面积的,N为OF中点,△OPN面积等于△FPN面积,又△OPN面积与△OPM面积相等,所以△OPN面积为△MOF面积的,为正方形面积的,八边形面积等于△OPM面积的8倍,为正方形面积的1/6.

  5.【解】不超过15元可购买商品的方法有:

  共12种方法,所以如果有25人,必然会有3人购买的商品完全相同.

  答:至少有25名小朋友.

  6.【解】不妨设想为在一条直线上的运动,将上山的路程看作下山路程的1.5倍,并设AC=1,则CB=2,下山路程=2,将上山、下山一个全程看作5,重复在一条直线上进行.如下图:

  B点表示山顶,甲到达山顶所走的路程可以表示为:5×n-2(其中n为整数,表示到达山顶的次数),此时乙所走的路程为(5×n-2)×,乙处于的位置为(5×n-2)×÷5=(5×n-2)÷6的余数,设此余数为k,当0

  n123456789

  k321054321

  即当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时(包括此时),甲到过山顶9次.

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