相似三角形练习题

2020-07-17试题

相似三角形练习题

  【知识纵横】

  1。 相似三角形

  对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形(similar triangles)。

  议一议:

  (1)两个全等三角形一定相似吗?为什么?

  (2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么?

  (3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么?

  2。 相似比

  相似三角形对应边的比叫做相似比。

  说明:相似比要注意顺序:如△ABC∽△A'B'C'的相似比 ,而△A'B'C'∽△ABC的相似比 ,这时 。

  3。 相似三角形的识别

  (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似。

  (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。

  (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

  【典型例题】

  例1。 如图,∠1=∠2=∠3,图中相似三角形有(    )对。

  答:4对

  例2。 如图,已知:△ABC、△DEF,其中∠A=50°,∠B=60°,∠C=70°,∠D=40°,∠E=60°,∠F=80°,能否分别将两个三角形分割成两个小三角形,使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似?

  如果可能,请设计一种分割方案;若不能,说明理由。

  解:

  例3。 (2004广东省)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点F在BA的延长线上,连结CF交AD于点E。

  (1)求证:△CDE∽△FAE;

  (2)当E是AD的中点,且BC=2CD时,求证:∠F=∠BCF。

  命题意图:相似三角形的识别、特征在解题中的应用。

  解析:由AB∥DC得:∠F=∠DCE,∠EAF=∠D

  ∴△CDE∽△FAE

  ,又E为AD中点

  ∴DE=AE,从而CD=FA,结合已知条件,易证

  BF=BC,∠F=∠BCF

  解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形

  ∴AB∥CD

  ∴∠F=∠DCE,∠EAF=∠D

  ∴△CDE∽△FAE

  (2)∵E是AD中点,∴DE=AE

  由(1)得:

  ∴CD=AF

  ∵四边形ABCD是平行四边形

  ∴AB=CD

  ∴AB=CD=AF

  ∴BF=2CD,又BC=2CD

  ∴BC=BF

  ∴∠F=∠BCF

  思路探究:平行往往是证两个三角形相似的重要条件,利用比例线段也可证明两线段相等。

  例4。 在梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,点P在线段AB上从A向B运动,

  (1)是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP;

  (2)若AD=4,BC=6,AB=10,使△ADP∽△BCP,则AP的长度为多少?

  解:(1)存在

  (2)若△ADP∽△BCP,则

  设

  或

  或

  或

  ∴AP长度为4或6

  例5。 如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE:CE=2:3,连结AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则 (    )

  A。 4:10:25   B。 4:9:25

  C。 2:3:5    D。 2:5:25

  (黑龙江省中考题)

  思路点拨:运用与面积相关知识,把面积比转化为线段比。

  ∴选A

  例6。 如图,有一批形状大小相同的不锈钢片,呈直角三角形,已知∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片,并求出这种正方形不锈钢片的边长。

  思路点拨:要在三角形内裁出面积最大的正方形,那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上,先画出不同方案,把每种方案中的正方形边长求出。

  解:如图甲,设正方形EFGH边长为x,则AC=4

  而CD×AB=AC×BC= ,得

  又△CEH∽△CAB,得

  于是 ,解得:

  如图乙,设正方形CFGH的边长为y cm

  由GH∥AC,得:

  即 ,解得:

  即应如图乙那样裁剪,这时正方形面积达最大,它的边长为

  例7。 如图,已知直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,设 , ,作DE⊥DC,DE交AB于点E,连结EC。

  (1)试判断△DCE与△ADE、△DCE与△BCE是否分别一定相似?若相似,请加以证明。

  (2)如果不一定相似,请指出a、b满足什么关系时,它们就能相似?

  解:(1)△DCE与△ADE一定相似,△DCE与△BCE不一定相似,分别延长BA、CD交于F点

  由△FAD∽△FBC,得:

  于是FD=DC,从而可证△FED≌△CED

  得∠AED=∠DEC

  所以△DEC∽△AED

  (2)作CG⊥AD交AD延长线于G,

  由△AED∽△GDC,有 ,得

  要使△DCE与△BCE相似,那么 一定成立

  即 ,得

  也就是当 时,△DCE与△BCE一定相似。

  【模拟试题】(答题时间:40分钟)

  1。 如图,已知DE∥BC,CD和BE相交于O,若 ,则AD:DB=____________。

  2。 如图,△ABC中,CE:EB=1:2,DE∥AC,若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为____________。

  3。 若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm,则此正方形的边长为____________。

  (武汉市中考题)

  4。 阅读下面的短文,并解答下列问题:

  我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体。

  如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比: ,设 分别表示这两个正方体的表面积,则 ,又设 分别表示这两个正方体的体积,则 。

  (1)下列几何体中,一定属于相似体的是(    )

  A。 两个球体    B。 两个圆锥体

  C。 两个圆柱体   D。 两个长方体

  (2)请归纳出相似体的3条主要性质:

  ①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于____________;

  ②相似体表面积的比等于____________;

  ③相似体体积的比等于____________。

  (江苏省泰州市中考题)

  5。 如图,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0。5 m时,长臂端点升高(    )

  A。 11。25 m  B。 6。6 m   C。 8 m  D。 10。5 m

  6。 如图,D为△ABC的边AC上的一点,∠DBC=∠A,已知 ,△BCD与△ABC的面积的比是2:3,则CD的'长是(    )

  A。    B。     C。    D。

  7。 如图,在正三角形ABC中,D、E分别在AC、AB上,且 ,AE=BE,则有(    )

  A。 △AED∽△BED   B。 △AED∽△CBD

  C。 △AED∽△ABD   D。 △BAD∽△BCD

  (杭州市中考题)

  8。 如图,已知△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则 等于(    )

  A。 1:9:36    B。 1:4:9

  C。 1:8:27    D。 1:8:36

  9。 如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ACD=∠B,求证:

  10。 如图,△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F。

  (1)求证:△ABC∽△FCD;

  (2)若 ,求DE的长。

  (河北省中考题)

  11。 阅读并解答问题。

  在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D、E落在BC上,F、G分别落在AC、AB边上,作法如下:

  第一步:画一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D'E'F'G'。

  第二步:连结BF',并延长交AC于点F;

  第三步:过F点作FE⊥BC于E;

  第四步:过F点作FG∥BC交AB于点G;

  第五步:过G作GD⊥BC于点D。

  四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG,为正方形。

  问题:

  (1)证明上述所求作的四边形DEFG为正方形;

  (2)在△ABC中,如果 ,∠BAC=75°,求上述正方形DEFG的边长。

  (江苏省扬州市中考题)

  12。 如图,在△ABC中, ,在BC上有100个不同的点 ,过这100个点分别作△ABC的内接矩形 … ,设每个内接矩形的周长分别为 ,则

  ____________。

  (安徽省竞赛题)

  13。 如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB,若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为 ,则△ABC的面积为____________。

  14。 如图,一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上,那么这个正方形的面积是____________厘米2。

  (第11届“希望杯”邀请赛试题)

  15。 如图,将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折,要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比为(    )

  A。 2:1   B。    C。    D。 1:1

  16。 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=3AB,EF∥CD,EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分,则AE:ED等于(    )

  A。 2   B。    C。    D。

  【试题答案】

  1。 3:1

  2。

  3。  或

  4。 (1)A;(2)相似比;相似比的平方;相似比的立方

  5。 C  6。 C   7。 B   8。 C

  9。 由△ABC∽△DCA,得

  10。 (1)略

  (2)过A作AM⊥BC于M

  由△ABC∽△FCD,得:

  又 ,得

  ∵DE∥AM,

  ,得

  11。 (1)易证明四边形EFGD为矩形,由 ,而 ,得EF=GF,故四边形EFGD为正方形。

  (2)过A作AQ⊥BC于Q交GF于P,且AQ=BQ,∠BCA=60°,∠QAC=30°, ,又

  即 ,解得

  由 ,得

  12。 400

  提示:从内接一个矩形入手,探求内接△ABC中任一矩形的长与宽的关系。

  13。

  提示:

  14。

  解:设 ,则

  由△BCE∽△EDF,得

  又 ,即

  15。 C

  16。 C

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