关于单调性与最大最小值检测试题
1.函数f(x)=x2在[0,1]上的最小值是( )
A.1 B.0
C.14 D.不存在
解析:选B.由函数f(x)=x2在[0,1]上的图象(图略)知,
f(x)=x2在[0,1]上单调递增,故最小值为f(0)=0.
2.函数f(x)=2x+6,x∈[1,2]x+7,x∈[-1,1],则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A.10,6 B.10,8
C.8,6 D.以上都不对
解析:选A.f(x)在x∈[-1,2]上为增函数,f(x)max=f(2)=10,f(x)min=f(-1)=6.
3.函数y=-x2+2x在[1,2]上的最大值为( )
A.1 B.2
C.-1 D.不存在
解析:选A.因为函数y=-x2+2x=-(x-1)2+1.对称轴为x=1,开口向下,故在[1,2]上为单调递减函数,所以ymax=-1+2=1.
4.函数y=1x-1在[2,3]上的最小值为( )
A.2 B.12
C.13 D.-12
解析:选B.函数y=1x-1在[2,3]上为减函数,
∴ymin=13-1=12.
5.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
解析:选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15,x为正整数),则在乙地销售(15-x)辆,∴公司获得利润L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.∴当x=9或10时,L最大为120万元,故选C.
6.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:选C.f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a.
∴函数f(x)图象的'对称轴为x=2,
∴f(x)在[0,1]上单调递增.
又∵f(x)min=-2,
∴f(0)=-2,即a=-2.
f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.
7.函数y=2x2+2,x∈N*的最小值是________.
解析:∵x∈N*,∴x2≥1,
∴y=2x2+2≥4,
即y=2x2+2在x∈N*上的最小值为4,此时x=1.
答案:4
8.已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是________.
解析:由题意知f(x)在[1,a]上是单调递减的,
又∵f(x)的单调减区间为(-∞,3],
∴1<a≤3.
答案:(1,3]
9.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最大值为________;最小值为________.
解析:∵f(x)=xx+2=x+2-2x+2=1-2x+2,
∴函数f(x)在[2,4]上是增函数,
∴f(x)min=f(2)=22+2=12,
f(x)max=f(4)=44+2=23.
答案:23 12
10.已知函数f(x)=x2 -12≤x≤11x 1<x≤2,
求f(x)的最大、最小值.
解:当-12≤x≤1时,由f(x)=x2,得f(x)最大值为f(1)=1,最小值为f(0)=0;
当1<x≤2时,由f(x)=1x,得f(2)≤f(x)<f(1),
即12≤f(x)<1.
综上f(x)max=1,f(x)min=0.
11.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解:(1)当每辆车的月租金为3600元时,未租出的车辆数为3600-300050=12.所以这时租出了88辆车.
(2)设每辆车的月租金为x元.则租赁公司的月收益为f(x)=(100-x-300050)(x-150)-x-300050×50,
整理得
f(x)=-x250+162x-21000=-150(x-4050)2+307050.
所以,当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金为4050元时,租赁公司的月收益最大.最大月收益为307050元.
12.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
解:f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.
①当a<0时,由图①可知,
f(x)min=f(0)=-1,
f(x)max=f(2)=3-4a.
②当0≤a<1时,由图②可知,
f(x)min=f(a)=-1-a2,
f(x)max=f(2)=3-4a.
③当1≤a≤2时,由图③可知,
f(x)min=f(a)=-1-a2,
f(x)max=f(0)=-1.
④当a>2时,由图④可知,
f(x)min=f(2)=3-4a,
f(x)max=f(0)=-1.
综上所述,当a<0时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;
当0≤a<1时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;
当1≤a≤2时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=-1;
当a>2时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.
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