高一数列知识点总结

2020-08-18总结

高一数列知识点总结

  数列是高一数学的重点,以下是小编整理的高一数列知识点总结,欢迎参考阅读!

  求数列通项公式常用以下几种方法:

  一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列,直接用其通项公式。

  例:在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求该数列的通项公式an。

  解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1,d=2的等差数列。所以an=2n—1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断,是较简单的基础小题。

  二、已知数列的前n项和,用公式

  S1 (n=1)

  Sn—Sn—1 (n2)

  例:已知数列{an}的前n项和Sn=n2—9n,第k项满足5

  (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

  解:∵an=Sn—Sn—1=2n—10,∴5<2k—10<8 ∴k=8 选 (B)

  此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

  三、已知an与Sn的关系时,通常用转化的方法,先求出Sn与n的关系,再由上面的(二)方法求通项公式。

  例:已知数列{an}的'前n项和Sn满足an=SnSn—1(n2),且a1=—,求数列{an}的通项公式。

  解:∵an=SnSn—1(n2),而an=Sn—Sn—1,SnSn—1=Sn—Sn—1,两边同除以SnSn—1,得———=—1(n2),而—=—=—,∴{—} 是以—为首项,—1为公差的等差数列,∴—= —,Sn= —,

  再用(二)的方法:当n2时,an=Sn—Sn—1=—,当n=1时不适合此式,所以,

  — (n=1)

  — (n2)

  四、用累加、累积的方法求通项公式

  对于题中给出an与an+1、an—1的递推式子,常用累加、累积的方法求通项公式。

  例:设数列{an}是首项为1的正项数列,且满足(n+1)an+12—nan2+an+1an=0,求数列{an}的通项公式

  解:∵(n+1)an+12—nan2+an+1an=0,可分解为[(n+1)an+1—nan](an+1+an)=0

  又∵{an}是首项为1的正项数列,∴an+1+an ≠0,∴—=—,由此得出:—=—,—=—,—=—,…,—=—,这n—1个式子,将其相乘得:∴ —=—,

  又∵a1=1,∴an=—(n2),∵n=1也成立,∴an=—(n∈N*)

  五、用构造数列方法求通项公式

  题目中若给出的是递推关系式,而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时,可以考虑通过变形,构造出含有 an(或Sn)的式子,使其成为等比或等差数列,从而求出an(或Sn)与n的关系,这是近一、二年来的高考热点,因此既是重点也是难点。

  例:已知数列{an}中,a1=2,an+1=(——1)(an+2),n=1,2,3,……

  (1)求{an}通项公式 (2)略

  解:由an+1=(——1)(an+2)得到an+1——= (——1)(an——)

  ∴{an——}是首项为a1——,公比为——1的等比数列。

  由a1=2得an——=(——1)n—1(2——) ,于是an=(——1)n—1(2——)+—

  又例:在数列{an}中,a1=2,an+1=4an—3n+1(n∈N*),证明数列{an—n}是等比数列。

  证明:本题即证an+1—(n+1)=q(an—n) (q为非0常数)

  由an+1=4an—3n+1,可变形为an+1—(n+1)=4(an—n),又∵a1—1=1,

  所以数列{an—n}是首项为1,公比为4的等比数列。

  若将此问改为求an的通项公式,则仍可以通过求出{an—n}的通项公式,再转化到an的通项公式上来。

  又例:设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=—,n=2,3,4……(1)求{an}通项公式。(2)略

  解:由an=—,n=2,3,4,……,整理为1—an=——(1—an—1),又1—a1≠0,所以{1—an}是首项为1—a1,公比为——的等比数列,得an=1—(1—a1)(——)n—1

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