证明函数单调性的方法总结

2018-07-22总结

  函数的单调性是函数的一个重要性质,下面是小编整理的证明函数单调性的方法总结,希望对大家有帮助!

  1、定义法:

  利用定义证明函数单调性的一般步骤是:

  ①任取x1、x2∈D,且x1<x2;

  ②作差f(x1)-f(x2),并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等);

  ③依据差式的符号确定其增减性.

  2、导数法:

  设函数y=f(x)在某区间D内可导.如果f′(x)>0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)在区间D内为减函数.

  注意:(补充)

  (1)若使得f′(x)=0的x的值只有有限个,

  则如果f ′(x)≥0,则f(x)在区间D内为增函数;

  如果f′(x) ≤0,则f(x)在区间D内为减函数.

  (2)单调性的判断方法:

  定义法及导数法、图象法、

  复合函数的单调性(同增异减)、

  用已知函数的单调性等

  (补充)单调性的有关结论

  1.若f(x),g(x)均为增(减)函数,

  则f(x)+g(x)仍为增(减)函数.

  2.若f(x)为增(减)函数,

  则-f(x)为减(增)函数,如果同时有f(x)>0,

  则

  为减(增)函数,

  为增(减)函数

  3.互为反函数的两个函数有相同的单调性.

  4.y=f[g(x)]是定义在M上的函数,

  若f(x)与g(x)的单调性相同,

  则其复合函数f[g(x)]为增函数;

  若f(x)、g(x)的单调性相反,

  则其复合函数f[g(x)]为减函数.简称”同增异减”

  5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;

  偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.

  函数单调性的应用

  (1)求某些函数的值域或最值.

  (2)比较函数值或自变量值的大小.

  (3)解、证不等式.

  (4)求参数的取值范围或值.

  (5)作函数图象.

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