平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

2019-01-24教学反思

  1.1 教材的地位与作用

  本节课是在学生学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘向量等线性运算的基础上,探索向量的又一种新的运算,它既是前面所学知识和方法的延续,又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础,因此本节内容具有承上启下的重要作用.1.2 学情分析

  (1)学生已经学习了任意角的三角函数、向量的概念和线性运算等知识.

  (2)学生对向量的物理背景有了一定的了解.如:力、位移、速度的合成与分解,力做功的有关知识.

  (3)学生已经具备了一定的数学建模能力,能从简单的物理背景及生活背景抽象出数学概念.

  2 教学目标分析

  依据课程标准和以上分析,制定本节课的三维目标如下:

  知识与技能目标

  通过物理中“功”的实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义,掌握平面向量数量积的性质.

  过程与方法目标

  经历从物理背景的分析,抽象概括出概念的过程,培养学生归纳概括,类比迁移的能力;经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程,体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.

  情感、态度、价值观目标

  通过师生互动,生生互动的教学活动过程,形成学生的体验性认识,体会各学科之间的密切联系,感受知识的形成过程,提高数学学习的兴趣,形成独立自主的钻研精神和合作交流的科学态度.

  3 重点、难点分析

  根据教学目标以及学情分析,确定本节课的教学重点、难点.

  重点:平面向量数量积的概念和性质.

  难点:向量在轴上的正射影的概念的理解和平面向量数量积的性质的发现.

  在教学中,注意遵循学生的认知规律.从学生感兴趣的物理实例入手,通过层层分析, 形成数量积的概念,并经历概念辨析、深化理解、学以致用等过程,来突出重点.通过练习和探究问题的设计,将五个性质分散开来,通过课件动画、问题引领、自主探究、合作交流等手段,从理性认识到实践练习,再到应用,使性质自然呈现,既突出了重点,又突破了难点.

  4 教学策略分析

  基于数量积的知识特点及学生的认知规律,采用启发式和问题探究相结合的教学方法.著名数学教育家波利亚指出:“学习任何东西,最好的途径是自己去发现”.因此,指导学生采用发现式学习法.在课堂上坚持以教师为主导,学生为主体,以抽象类比与问题探究为主线.同时,为了有效实现教学目标,采用多媒体和自编学案辅助教学.

  5 教学过程分析

  本节课的教学流程如下:

  具体分析如下:

  5.1 创设情境 展示背景

  教师录像展示“大力士拉车”的情境实例,提出物理问题.

  问题1 大力士拉车,沿着绳子方向上的力为F,车移动的位移是s,力和位移的夹角为θ,大力士所做的功为多少?

  设计意图 从学生已有的认知水平出发,通过熟悉的生活实例,创设数量积的物理背景,激发学生的学习热情.

  5.2 分析背景 形成概念

  该环节,依据本套教材的特点,以物理背景作为总的抓手,通过抽象、概括、归纳,形成了两个向量的夹角、向量在轴上的正射影和向量的数量积定义三个概念.

  第一步:背景的初次分析

  问题2 决定功的大小的量有哪几个?它们是标量还是矢量?当力和位移的大小一定时,功的大小取决于那个量?

  问题3 这个夹角抽象到我们数学中,就是今天我们要学习的两个向量的夹角,把力F、位移s换作数学中任意两个非零向量a与b,你能尝试着给出向量a与b夹角的概念吗?

  设计意图 通过力做功的几个因素的分析,突出夹角在做功中的作用,形成两个向量夹角的概念.

  1.两个向量的夹角

  已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a与b的夹角,记作:〈a,b〉.

  问题4 下面几种情形中(锐角、钝角、直角、共线同向、共线反向),两向量的夹角分别是什么角?

  设计意图 通过几种类型的夹角的给出,让学生直观感知夹角的范围,帮助学生理解夹角范围规定的合理性.

  规定: 0≤〈a,b〉≤π,且〈a,b〉=〈b,a〉.

  特别的:当〈a,b〉=π2时,叫做a与b垂直,记作a⊥b;

  两向量的垂直符号同几何中的垂直符号是一致的.

  问题5 请回顾:0的方向是怎样规定的?

  规定:0与任意向量垂直.

  前面曾规定:0与任意向量平行.

  设计意图 概念呈现后,注意与前面所学知识进行对比,便于学生理解,记忆.图1

  练习: 如图1,正△ABC中,求

  (1)AC与AB的夹角;

  (2)AB与BC的夹角.

  注:确定两向量的夹角的关键是:通过平移使两向量共起点.

  设计意图 及时巩固所学概念,强调确定两向量夹角的一般方法.

  第二步:背景的再次分析

  问题6 真正使汽车前进的力是什么?它的大小是多少?

  设计意图 让学生借助已有的认知经验,类比物理背景中拉力F在位移方向上的分力,它的大小是Fcos θ,自然引出向量在轴上的正射影及其数量的概念.从特殊到一般,符合学生的认知规律,突破难点.

  2.向量在轴上的正射影

  已知向量a和轴l,作OA=a,过点O、A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1、A1,则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).

  向量在轴上的正射影的数量

  该射影在轴l上的坐标, 称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量. OA=a在轴l上正射影的坐标记作: al,若向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则al=|a|cos θ.

  问题7 向量在轴上的正射影与向量在轴上的正射影的数量有什么区别?

  问题8 向量在轴上的正射影的数量一定是正实数吗?

  注: a在轴l上的正射影的数量是个实数,可正、可负、可为零.

  向量a在b方向上的正射影及数量

  如果向量b在轴l上且与轴同向,那么,向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影,它的数量是acos.

  设计意图 让学生理解正射影及其数量的含义,并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其数量,为数量积的概念的学习做准备

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