《球的体积和表面积》教学设计范文

2019-01-25教学设计

  一、教学目标

  知识与技能

  ⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

  ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

  ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

  过程与方法

  通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式V=

  πR3和面积公式S=4πR2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。

  情感与价值观

  通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。

  二、教学重点、难点

  重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

  难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

  三、学法和教学用具

  学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

  教学用具:投影仪

  四、教学设计

  创设情景

  ⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。

  ⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。

  探究新知

  1.球的体积:

  如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

  步骤:

  第一步:分割

  如图:把半球的垂直于底面的半径OA作n等分,过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”,“小圆片”厚度近似为,底面是“小圆片”的底面。

  如图:

  得

  第二步:求和

  第三步:化为准确的和

  当n→∞时,

  →0 (同学们讨论得出)

  所以

  得到定理:半径是R的球的体积

  练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)

  2.球的表面积:

  球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。

  思考:推导过程是以什么量作为等量变换的?

  半径为R的球的表面积为 S=4πR2

  练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (答案50元)

  典例分析

  课本P47 例4和P29例5

  巩固深化、反馈矫正

  ⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 。

  (答案: 3 :1)

  ⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积。 (答案:2500πcm2)

  分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性质求球的半径

  课堂小结

  本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。

  评价设计

  作业 P30 练习1、3 ,B(1)

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