高中数学必修二知识点总结
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高中数学必修二知识点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即 .斜率反映直线与轴的倾斜程度.
当 时, ; 当 时, ; 当 时, 不存在.
②过两点的直线的斜率公式:
注意下面四点:(1)当 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.
(3)直线方程
①点斜式: 直线斜率k,且过点
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.
②斜截式: ,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式: ( )直线两点 ,
④截矩式:
其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 .
⑤一般式: (A,B不全为0)
注意:各式的适用范围 特殊的方程如:
平行于x轴的直线: (b为常数); 平行于y轴的直线: (a为常数);
(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线 ( 是不全为0的常数)的直线系: (C为常数)
(二)垂直直线系
垂直于已知直线 ( 是不全为0的常数)的直线系: (C为常数)
(三)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系: ,直线过定点 ;
(ⅱ)过两条直线 , 的交点的直线系方程为
( 为参数),其中直线 不在直线系中.
(6)两直线平行与垂直
当 , 时,
;
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.
(7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组 的一组解.
方程组无解 ; 方程组有无数解 与 重合
(8)两点间距离公式:设 是平面直角坐标系中的两个点,
则
(9)点到直线距离公式:一点 到直线 的距离
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.
二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
2、圆的方程
(1)标准方程 ,圆心 ,半径为r;
(2)一般方程
当 时,方程表示圆,此时圆心为 ,半径为
当 时,表示一个点; 当 时,方程不表示任何图形.
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线 ,圆 ,圆心 到l的距离为 ,则有 ; ;
(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
设圆 ,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
当 时两圆外离,此时有公切线四条;
当 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当 时,两圆内含; 当 时,为同心圆.
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
三、立体几何初步