初三数学同步练习之代数综合测试题汇编
(2014石景山1月期末24)如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点. C为二次函数图象的顶点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)定义函数f：当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，若y1y2，函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;若y1=y2，函数f的函数值等于y1(或y2). 当直线(k 0)与函数f的图象只有两个交点时，求的值.
24. 解：(1)设抛物线解析式为，
由抛物线过点，可得2分
(2)可得
直线(k 0)与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：
①直线与直线：平行，此时;3分
②直线过点，此时; 4分
③直线与二次函数的图象只有一个交点，
此时有 得,
由可得.5分
综上：，，
(2014西城1月期末8)若抛物线(m是常数)与直线有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则的取值范围是
A.B.C.D.
23.已知：二次函数(m为常数).
(1)若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上.
①求m的值;
②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式;
(2) 当02时，求函数的`最小值(用含m的代数式表示).
23.解：(1)①∵ 二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，
.1分
整理，得.
解得，，.
又点A在x轴的正半轴上，
.
m=4.2分
②由①得点A的坐标为.
∵ 四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，
点B的坐标为，点C的坐标为.3分
设平移后的图象对应的函数解析式为(b，c为常数).
解得
平移后的图象对应的函数解析式为.4分
(2)函数的图象是顶点为，且开口向上的抛物线.分三种情况：
(ⅰ)当，即时，函数在02内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为;
(ⅱ)当02，即04时，函数的最小值为;
(ⅲ)当，即时，函数在02内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为.
综上，当时，函数的最小值为;
当时，函数的最小值为;
当时，函数的最小值为.7分
(2014海淀1月期末23)已知抛物线().
(1)求抛物线与轴的交点坐标;
(2)若抛物线与轴的两个交点之间的距离为2，求的值;
(3)若一次函数的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.
23. (本小题满分7分)
解：(1)令，则.
∵，
解方程，得 .
，.
抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(，0). 2分
(2) ∵， .
由题意可知，. 3分[来源:ZXXK]
解得，.
经检验是方程的解且符合题意.
.4分
(3)∵一次函数的图象与抛物线始终只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根.
整理该方程，得 ，
，
解得 . 6分
一次函数的解析式为.7分
(2014东城1月期末23)已知二次函数(a, m为常数，且a0).(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值.
23. 解：(1)证明：
..1分
..2分
∵
不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点...3分
(2)
4分
当y=0时，
解得x1 = m，x2 = m + 2.
AB=(m + 2)- m = 2. ..5分
当△ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1.
.
. ..7分
(2014昌平1月期末24)已知二次函数y = x2 kx + k 1( k2).
(1)求证：抛物线y = x2 kx + k - 1( k2)与x轴必有两个交点;
(2)抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,若，求抛物线的表达式;
(3)以(2)中的抛物线上一点P(m,n)为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m取何值时，x轴与相离、相切、相交.
24.(1)证明：∵， 1分
又∵，.即.
抛物线y = x2 kx + k - 1与x轴必有两个交点. 2分
(2) 解：∵抛物线y = x2 kx + k - 1与x轴交于A、B两点，
令，有.
解得：. 3分
∵，点A在点B的左侧，
.
∵抛物线与y轴交于点C,
. 4分
∵在Rt中, ,
, 解得.
抛物线的表达式为. 5分
(3)解：当或时，x轴与相离. 6分
当或或时，x轴与相切. 7分
当或时，x轴与相交. 8分
(2014门头沟1月期末23)已知抛物线的顶点在x轴上，且与y轴交于A点. 直线经过A、B两点，点B的坐标为(3，4).
(1)求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上;
(2)如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h ，点P的横坐标为x.当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值.
23.(1)∵抛物线的顶点在x轴上，
.
b=2 . 1分
抛物线的解析式为或 .2分
将B(3，4)代入，左=右，[来源:ZXXK]
点B在抛物线上.
将B(3，4)代入，左右，
点B不在抛物线上.3分
(2)∵A点坐标为(0 ，1)，点B坐标为(3，4)，直线过A、B两点
. 4分
.
∵点B在抛物线上.
设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .
PE=h=yP-yE
=(x+1)-(x2-2x+1)
=-x2+3x .5分
即h=x2+3x (0
当时，h有最大值 6分
最大值为 7分
(2014延庆1月期末23) 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(4，n)在这条抛物线上.
(1)求B点的坐标;
(2)将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式;
(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，
图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.
请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的
取值范围.
23.解：(1)抛物线过原点
=0
1分
∵m1
2分
3分
∵点B(4，n)在这条抛物线上
n=4
B(4，4) 4分
(2)将此抛物线的图象向上平移个单位，平移后的图象的解析式;
5分
(3)的取值范围是： 或 7分
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