对数函数及其性质测试题
1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析：选D.a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.
2．已知f(x)＝logax－1在(0,1)上递减，那么f(x)在(1，＋∞)上( )
A．递增无最大值 B．递减无最小值
C．递增有最大值 D．递减有最小值
解析：选A.设y＝logau，u＝x－1.
x∈(0,1)时，u＝x－1为减函数，∴a>1.
∴x∈(1，＋∞)时，u＝x－1为增函数，无最大值．
∴f(x)＝loga(x－1)为增函数，无最大值．
3．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A.12 B.14
C．2 D．4
解析：选C.由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.
4．函数y＝log13(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是________．
解析：y＝log13u，u＝－x2＋4x＋12.
令u＝－x2＋4x＋12>0，得－2<x<6.
∴x∈(－2,2]时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，
∴y＝log13(－x2＋4x＋12)为减函数．
答案：(－2,2]
1．若loga2＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(1,2) B．(0,1)∪(2，＋∞)
C．(0,1)∪(1,2) D．(0，12)
解析：选B.当a＞1时，loga2＜logaa，∴a＞2；当0＜a＜1时，loga2＜0成立，故选B.
2．若loga2<logb2<0，则下列结论正确的是( )
A．0<a<b<1 B．0<b<a<1
C．a>b>1 D．b>a>1
解析：选B.∵loga2<logb2<0，如图所示，
∴0<b<a<1.
3．已知函数f(x)＝2log12x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的.定义域是( )
A．[22，2] B．[－1,1]
C．[12，2] D．(－∞，22]∪[2，＋∞)
解析：选A.函数f(x)＝2log12x在(0，＋∞)上为减函数，则－1≤2log12x≤1，可得－12≤log12x≤12，X k b 1 . c o m
解得22≤x≤2.
4．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A.14 B.12
C．2 D．4
解析：选B.当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝12，与a＞1矛盾；
当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，
loga2＝－1，a＝12.
5．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
解析：选A.当a＞1时，y＝logat为增函数，t＝(a－1)x＋1为增函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数；当0＜a＜1时，y＝logat为减函数，t＝(a－1)x＋1为减函数，
∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数．
6．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝lge，b＝(lg e)2，c＝lg e，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选B.∵1<e<3，则1<e<e<e2<10，
∴0<lg e<1.则lg e＝12lg e<lg e，即c<a.
∵0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.
又c－b＝12lg e－(lg e)2＝12lg e(1－2lg e)
＝12lg elg10e2>0，∴c>b，故选B.
7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，如果alogb(x－3)＜1，则x的取值范围是________．
解析：∵0＜a＜1，alogb(x－3)＜1，∴logb(x－3)＞0.
又∵0＜b＜1，∴0＜x－3＜1，即3＜x＜4.
答案：3＜x＜4
8．f(x)＝log21＋xa－x的图象关于原点对称，则实数a的值为________．
解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数，
所以f(－x)＋f(x)＝0，即
log21－xa＋x＋log21＋xa－x＝0log21－x2a2－x2＝0＝log21，
所以1－x2a2－x2＝1a＝1(负根舍去)．
答案：1
9．函数y＝logax在[2，＋∞)上恒有y＞1，则a取值范围是________．
解析：若a＞1，x∈[2，＋∞)，y＝logax≥loga2，即loga2＞1，∴1＜a＜2；若0＜a＜1，x∈[2，＋∞)，y＝－logax≥－loga2，即－loga2＞1，∴a＞12，∴12＜a＜1.
答案：12＜a＜1或1＜a＜2
10．已知f(x)＝6－ax－4ax<1logax x≥1是R上的增函数，求a的取值范围．
解：f(x)是R上的增函数，
则当x≥1时，y＝logax是增函数，
∴a>1.
又当x<1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数．
∴6－a>0，∴a<6.
又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥65.
∴65≤a<6.
综上所述，65≤a＜6.
11．解下列不等式．
(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；
(2)logx12＞1.
解：(1)原不等式等价于2x＋3＞05x－6＞02x＋3＞5x－6，
解得65＜x＜3，
所以原不等式的解集为(65，3)．
(2)∵logx12＞1log212log2x＞11＋1log2x＜0
log2x＋1log2x＜0－1＜log2x＜0
2－1＜x＜20x＞012＜x＜1.
∴原不等式的解集为(12，1)．
12．函数f(x)＝log12(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
解：令t＝3x2－ax＋5，则y＝log12t在[－1，＋∞)上单调递减，故t＝3x2－ax＋5在[－1，＋∞)单调递增，且t＞0(即当x＝－1时t＞0)．
因为t＝3x2－ax＋5的对称轴为x＝a6，所以a6≤－18＋a＞0a≤－6a＞－8－8＜a≤－6.
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