1，如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，E F分别是OA、OB的中点(1)求证△ADE≌△BCF：(2)若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长。
证明：(1)在矩形ABCD中，AC,BD为对角线，
∴AO=OD=OB=OC
∴∠DAO=∠ADO=∠CBO=∠BCO
∵E,F为OA,OB中点
∴AE=BF=1/2AO=1/2OB
∵AD=BC, ∠DAO=∠CBO,AE=BF
∴△ADE≌△BCF
(2)过F作MN⊥DC于M,交AB于N
∵AD=4cm，AB=8cm
∴BD=4根号5
∵BF:BD=NF:MN=1：4
∴NF=1，MF=3
∵EF为△AOB中位线
∴EF=1/2AB=4cm
∵四边形DCFE为等腰梯形
∴MC=2cm
∴FC=根号13cm。
2，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm。
(1)求证：四边形ABFE是等腰梯形;
(2)求AE的长。
(1)证明：过点D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四边形BCDM为矩形.
∴DC=MB.
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC.
∵DM⊥AB，
∴AD=BD.
∴∠DAB=∠DBA.
∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，
∴四边形ABFE是等腰梯形.
(2)解：∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF。
∴CD AB =CF AF =1 2。
∵CF=4cm，
∴AF=8cm。
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF与△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF，即BF CF =AF BF ，
∴BF2=CFAF.
∴BF=4 2 cm.
∴AE=BF=4 2 cm.
3，如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
(1)若AB=6，求线段BP的长;
(2)观察图形，是否有三角形与△ACQ全等?并证明你的结论
解：(1)∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形
∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE
∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED
∴△ABP∽△ADE
∴BP DE =AB AD∴BP=AB AD DE=6 18 ×6=2;
(2)
∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
∴AB=BC=EF=FG
∴AB+BC=EF+FG
∴AC=EG
∵AD∥HE
∴∠1=∠2
∵BG∥CF
∴∠3=∠4
∴△EGP≌△ACQ。
4，已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF，FH//EG//AC，FH、EC分别交边BC所在的直线于点H，G
1 如果点E。F在边AB上，那么EG+FH=AC，请证明这个结论
2 如果点E在AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么?
3 如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么?
4 请你就1，2，3的结论，选择一种情况给予证明
解：(1)∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC.
∴BF/FH=BE/EG=BA/AC
∴BF+BE/FH+EG=BA/AC
又∵BF=EA，
∴EA+BE/FH+EG=AB/AC
∴AB/FH+EG=AB/AC.
∴AC=FH+EG.
(2)线段EG、FH、AC的`长度的关系为：EG+FH=AC.
证明(2)：过点E作EP∥BC交AC于P，
∵EG∥AC，
∴四边形EPCG为平行四边形.
∴EG=PC.
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP.
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA.
∴HF=AP.
∴AC=PC+AP=EG+HF.
即EG+FH=AC.
5，如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离。
解：连接AB，同时连接OC并延长交AB于E，
因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，
∴OE⊥AB，AE=BE，
∴Rt△OCD∽Rt△OAE，
∴OC:OA = CD:AE
∵OC=OD+CD ∴OC =26，∴AE= =15，∵AB=2AE ∴ AB =30(mm)。(8分)
答：AB两点间的距离为30mm。
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