高二数学课后练习题之独立重复试验与二项分布

2020-07-26试题

　　一、选择题

　　1.某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，A发生k次的概率为()

　　A.1-pk

　　B.(1-p)kpn-k

　　C.(1-p)k

　　D.Ckn(1-p)kpn-k

　　[答案] D

　　[解析] 在n次独立重复试验中，事件A恰发生k次，符合二项分布，而P(A)=p，则P(A)=1-p，故P(X=k)=Ckn(1-p)kpn-k，故答案选D.

　　2.在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为()

　　A.13 B.25

　　C.56 D.34

　　[答案] A

　　[解析] 事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1-C04p0(1-p)4=6581，所以1-p=23，p=13，故答案选A.

　　3.流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为()

　　A.3.3210-5 B.3.3210-9

　　C.6.6410-5 D.6.6410-9

　　[答案] B

　　[解析] 相当于1个流星独立重复10次，其中落在地面上的有4次的概率P=C4100.0024(1-0.002)63.3210-9，应选B.

　　4.已知随机变量X服从二项分布，X～B6，13，则P(X=2)等于()

　　A.316 B.4243

　　C.13243 D.80243

　　[答案] D

　　[解析] 已知X～B6，13，P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k，当X=2，n=6，p=13时有P(X=2)=C261321-136-2=C26132234=80243.

　　5.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是()

　　A.16625 B.96625

　　C.192625 D.256625

　　[答案] B

　　[解析] P=C24452152=96625.

　　6.某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第次首次测到正品，则P(=3)=()

　　A.C2314234 B.C2334214

　　C.14234 D.34214

　　[答案] C

　　7.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则他恰好击中目标3次的概率为()

　　A.0.930.1

　　B.0.93

　　C.C340.930.1

　　D.1-0.13

　　[答案] C

　　[解析] 由独立重复试验公式可知选C.

　　8.(2016保定高二期末)位于坐标原点的'一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()

　　A.(12)5 B.C25(12)5

　　C.C35(12)3 D.C25C35(12)5

　　[答案] B

　　[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C35(12)3(12)2=C35(12)5=C25(12)5.

　　二、填空题

　　9.已知随机变量X～B(5，13)，则P(X4)=________.

　　[答案] 11243

　　10.下列例子中随机变量服从二项分布的有________.

　　①随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数;

　　②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数

　　③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数(M

　　④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数.

　　[答案] ①③

　　[解析] 对于①，设事件A为抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数，P(A)=13.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k=0,1,2，，n)的概率P(=k)=Ckn13k23n-k，符合二项分布的定义，即有～B(n，13).

　　对于②，的取值是1,2,3，，P(=k)=0.90.1k-1(k=1,2,3，n)，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布.

　　③和④的区别是：③是有放回抽取，而④是无放回抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有～Bn，MN.

　　故应填①③.

　　11.(2016湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答).

　　[答案] 0.9477

　　[解析] 本题主要考查二项分布.

　　C340.930.1+(0.9)4=0.9477.

　　12.如果X～B(20，p)，当p=12且P(X=k)取得最大值时，k=________.

　　[答案] 10

　　[解析] 当p=12时，P(X=k)=Ck2015k1220-k

　　=1220Ck20，显然当k=10时，P(X=k)取得最大值.

　　三、解答题

　　13.在一次测试中，甲、乙两人独立解出一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率是0.36，写出解出该题人数X的分布列.

　　[解析] 设甲、乙独立解出该题的概率为x，由题意1-(1-x)2=0.36，解得x=0.2.

　　所以解出该题人数X的分布列为

　　X 0 1 2

　　P 0.64 0.32 0.04

　　14.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少?(精确到0.01)

　　[解析] 10位病人中被治愈的人数X服从二项分布，即X～B(10,0.9)，故有9人被治愈的概率为P(X=9)=C9100.990.110.39.

　　15.9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列.

　　[解析] 因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=18，所以一个坑不需要补种的概率为1-18=78.

　　3个坑都不需要补种的概率为

　　C031807830.670，

　　恰有1个坑需要补种的概率为

　　C131817820.287，

　　恰有2个坑需要补种的概率为

　　C231827810.041，

　　3个坑都需要补种的概率为

　　C331837800.002.

　　补种费用X的分布列为

　　X 0 10 20 30

　　P 0.670 0.287 0.041 0.002

　　16.(2016全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审，则予以录用;若两位初审专家都未予通过，则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.

　　(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;

　　(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列.

　　[分析] 本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想.(1)稿件被录用这一事件转化为事件稿件能通过两位初审专家的评审和事件稿件能通过复审专家的评审的和事件，利用加法公式求解.(2)X服从二项分布，结合公式求解即可.

　　[解析] (1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审;

　　B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审;

　　C表示事件：稿件能通过复审专家的评审;

　　D表示事件：稿件被录用.

　　则D=A+BC，

　　而P(A)=0.50.5=0.25，P(B)=20.50.5=0.5，P(C)=0.3

　　故P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.50.3=0.4.

　　(2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,0.4)，

　　X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X=0)=(1-0.4)4=0.1296

　　P(X=1)=C140.4(1-0.4)3=0.3456

　　P(X=2)=C240.42(1-0.4)2=0.3456

　　P(X=3)=C340.43(1-0.4)=0.1536