高二数学《不等式的证明》单元测试题
一、选择题(每小题6分，共42分)
1.设0
A.4ab B.2(a2+b2)
C.(a+b)2 D.(a-b)2
答案：C
解析：令x=cos2θ,θ∈(0, ),则 =a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥a2+b2+2ab=(a+b)2.
2.若a、b∈R,a2+b2=10,则a-b的取值范围是( )
A.[-2 ，2 ] B.[-2 ，2 ]
C.[- ， ] D.[0， ]
答案：A
解析：设a= cosθ,b= sinθ,则a-b= (cosθ-sinθ)=2 cos(θ+ )∈[?-2 ,2 ].
3.已知a∈R+,则下列各式中成立的是( )
A.cos2θlga+sin2θlgblg(a+b)
C. =a+b D. >a+b
答案：A
解析：cos2θlga+sin2θlgb
4.设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b>0是f(x)>0在[0，1]上恒成立的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：a+2b>0 a +b>0 f( )>0,不能推出f(x)>0,x∈[0,1];反之，f(x)>0,x∈[0,1] f( )>0 a+2b>0.
5.(2010重庆万州区一模，7)已知函数y=f(x)满足：①y=f(x+1)是偶函数;②在[1，+∞)上为增函数.若x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,则f(-x1)与f(-x2)的'大小关系是( )
A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)
C.f(-x1)=f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不能确定
答案：A
解析：y=f(x+1)是偶函数f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x).
又x1+x2<-2,-x1>2+x2>2，
故f(-x1)>f(2+x2)=f(-x2).
6.(2010湖北十一校大联考，9)定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)对所有实数x都成立，且在[-2，0]上单调递增，a=f( ),b=f( ),c=f( 8)，则下列成立的是( )
A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b
答案：B
解析：由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),
∴T=4,而f(x)在R上为偶函数又在[-2，0]上单调递增，所以f(x)在[0，2]上单调递减.
b=f( )=f(- )=f( ),c=f( 8)=f(-3)=f(1),a=f( ).
∵ >1> ,∴b>c>a.
7.设a、b、c、d∈R，m= + ,n= ,则( )
A.mn C.m≤n D.m≥n
答案：D
解析：设A(a,b),B(c,d),O(0,0),
∵|OA|+|OB|≥|AB|,
∴得m≥n.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8.设x>0,y>0,A= ,B= ,则A，B的大小关系是__________________.
答案：A
解析：A= =B.
9.已知x2+y2=1,对于任意实数x,y恒有不等式x+y-k≥0成立，则k的最大值是_______
______.
答案：-
解析：设x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ= sin(θ+ ),∴k≤- .∴k的最大值为- .
10.设{an｝是等差数列，且a12+a112≤100,记S=a1+a2+…+a11则S的取值范围是______________.
答案：[-55 ，55 ]
解析：由 ≥( )2 ∈[-5 ,5 ].
∴S=a1+a2+…+a11
=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6
= (a1+a11)∈[-55 ,55 ].
三、解答题(11—13题每小题10分，14题13分，共43分)
11.若x,y均为正数，且x+y>2.
求证: 与 中至少有一一个小于2.
证明：假设 与 均不小于2，即 ≥2且 ≥2,则1+y≥2x,1+x≥2y.相加得2+x+y≥2(x+y)，
推出x+y≤2,与题设x+y≥2矛盾.故假设错误.
12.已知an= +…+ (n∈N*),求证：
证明：an> +…+ =1+2+3+…+n= ,
而an< [(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))]= +(1+2+3+…+n)= < .
13.若a,b,c为三角形三边，x,y,z∈R,x+y+z=0,
求证：a2yz+bzzx+c2xy≤0.
证明：∵z=-x-y,
∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,
∴原不等式 f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0. (*)
∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=[(a2+b2+2ab)-c2][(a2+b2-2ab)-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),
a,b,c为三角三边，∴Δ<0.
∴b2>0,∴f(x)>0对x∈R恒成立，即(*)表示，
∴原不等式得证.
14.已知：a∈R+,求证：a+ ≥ .
证明：∵a∈R+，设t=a+4a≥2 =4,则左式=f(t)=t+ (t≥4)
∴f(t)=( )2+2在t≥4上递增.
∴f(t)≥f(4)=4+ = 得证.
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