深入分析换元法的目的和意义,从而得出各种换元技巧的本质规律,以便在数学解题中能够有效地选择换元方式. 关键词:换元法,转化 从一种形态转化到另一种形态,这是数学发展的一个杠杆,也是解题常用的手段. 数学史中这样的例子很多,无论是对一些具体问题的`解决,还是在经典的数学方法中,都无不渗透着
这一思想. 解题中常用到的换元法,其实也是这一思想的具体体现.
当然,为了使问题得到解决,转化应该是有效的. 什么是有效的转化?总的说来,有利于问题解决的转化就是有效转化. 在具体问题中,针对转化的有效性,人们作了很多的探讨. 以换元法为例,就有很多文章探讨了解方程中的换元技巧,积分中的换元技巧,等等. 每一类问题又由于其具体形式的不同,换元的形式也多种多样. 分析各种换元形式的共同规律,可以将其归结为以下两种模式.
一、通过换元使形式凝练、简化
化繁为简是处理问题的一种常用方法,也是数学解题的一种重要手段,恰当的换元往往可以起到这一作用.
例1 解方程.
分析 这是一个含根式的二次方程,形式较复杂,但注意到方程左端可以化成关于的表达式,令,原方程可简化为一元二次方程,问题得以解决.
解 原方程可改写为
.(1)
令,则方程(1)可化为
,(2)
解此方程,得(舍去),.
由,得
,(3)
解方程(3),得原方程的根
,.
二、通过换元改造难于处理的形式
表达式中出现难于处理的形式,如根式、超越函数等,通过适当的换元来改造形式,使问题得以解决.
例2 求不定积分.
分析 被积函数的分子、分母中分别出现了二次根式和三次根式,没有直接的积分公式可以套用,设法将根式去掉. 令,可以将无理函数转化为有理函数.
解 设,即,. 于是
在具体问题中,换元的形式多种多样,但究其本质,多是从以上两个角度选择换元方式. 弄清这一基本规律,我们就没有必要去记忆各种换元技巧,具体问题具体分析,有针对性地恰当选择换元.
[参考文献]
[1]刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁. 数学分析讲义(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.
[2]宋天鉴,刘卫华,孙敏. 高中数学解题法[M]. 昆明:云南教育出版社,1996.
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