方程的根与函数的零点教案3
学习目标
1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;
2. 掌握零点存在的判定定理.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P86~ P88,找出疑惑之处)
复习1:一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.
判别式 = .
当 0,方程有两根,为 ;
当 0,方程有一根,为 ;
当 0,方程无实根.
复习2:方程 +bx+c=0 (a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c (a 0)的图象之间有什么关系?
判别式 一元二次方程 二次函数图象
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一:函数零点与方程的根的关系
问题:
① 方程 的解为 ,函数 的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
② 方程 的解为 ,函数 的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
③ 方程 的解为 ,函数 的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
根据以上结论,可以得到:
一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的 .
你能将结论进一步推广到 吗?
新知:对于函数 ,我们把使 的实数x叫做函数 的零点(zero point).
反思:
函数 的零点、方程 的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?
试试:
(1)函数 的零点为 ; (2)函数 的零点为 .
小结:方程 有实数根 函数 的图象与x轴有交点 函数 有零点.
探究任务二:零点存在性定理
问题:
① 作出 的图象,求 的值,观察 和 的符号
② 观察下面函数 的图象,
在区间 上 零点; 0;
在区间 上 零点; 0;
在区间 上 零点; 0.
新知:如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 0,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个c也就是方程 的根.
讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.
※ 典型例题
例1求函数 的零点的个数.
变式:求函数 的零点所在区间.
小结:函数零点的求法.
① 代数法:求方程 的实数根;
② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
※ 动手试试
练1. 求下列函数的零点:
(1) ;
(2) .
练2. 求函数 的零点所在的大致区间.
三、总结提升
※ 学习小结
①零点概念;②零点、与x轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理
※ 知识拓展
图象连续的函数的零点的性质:
(1)函数的图象是连续的,当它通过零点时(非偶次零点),函数值变号.
推论:函数在区间 上的图象是连续的,且 ,那么函数 在区间 上至少有一个零点.
(2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 函数 的零点个数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函数 在 上连续,且有 .则函数 在 上( ).
A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定
3. 函数 的零点所在区间为( ).
A. B. C. D.
4. 函数 的零点为 .
5. 若函数 为定义域是R的奇函数,且 在 上有一个零点.则 的零点个数为 .
课后作业
1. 求函数 的零点所在的大致区间,并画出它的大致图象.
2. 已知函数 .
(1) 为何值时,函数的图象与 轴有两个零点;
(2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求 值.
方程的根与函数的零点教案4
第一课时: 3.1.1
教学要求:结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;掌握零点存在的判定条件.
教学重点:体会函数的零点与方程根之间的联系,掌握零点存在的判定条件.
教学难点:恰当的使用信息工具,探讨函数零点个数.
教学过程:
一、复习准备:
思考:一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系?
.二、讲授新课:
1、探讨函数零点与方程的根的关系:
① 探讨:方程x -2x-3=o 的根是什么?函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?
方程x -2x+1=0的根是什么?函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点?
方程x -2x+3=0的根是什么?函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点?
② 根据以上探讨,让学生自己归纳并发现得出结论: → 推广到y=f(x)呢?
一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.
③ 定义零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
④ 讨论:y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标的关系?
结论:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
⑤ 练习:求下列函数的零点 ; → 小结:二次函数零点情况
2、教学零点存在性定理及应用:
① 探究:作出 的图象,让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号
②观察下面函数 的图象,在区间 上______(有/无)零点; _____0(<或>). 在区间 上______(有/无)零点; _____0(<或>). 在区间 上______(有/无)零点; _____0(<或>).
③定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
④ 应用:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. (试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法)
⑤小结:函数零点的求法
代数法:求方程 的实数根;
几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
⑥ 练习:求函数 的零点所在区间.
3、小结:零点概念;零点、与x轴交点、方程的根的关系;零点存在性定理
三、巩固练习:1. p97, 1,题 2,题 (教师计算机演示,学生回答)
2. 求函数 的零点所在区间,并画出它的大致图象.
3. 求下列函数的零点: ; ; ;
4.已知 :(1) 为何值时,函数的图象与 轴有两个零点;
(2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 的值.
5. 作业:p102, 2题;p125 1题
第二课时: 3.1.2用二分法求方程的近似解
教学要求:根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学重点:用二分法求方程的近似解.
教学重点:恰当的使用信息工具.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:什么叫零点?零点的等价性? 零点存在性定理?方程的根与函数的零点教案5
知识与技能
1.结合方程根的几何意义,理解函数零点的定义;
2.结合零点定义的探究,掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系;
3.结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和所 在区间的方法.
过程与方法
1.通过化归与转化思想的引导,培养学生从已有认知结构出发,寻求解决棘手问题方法的习惯;
2.通过数形结合思想的渗透,培养学生主动应用数学思想的意识;
3.通过习题与探究知识的相关性设置,引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法;
4.通过对函数与方程思想的不断剖析,促进学生对知识灵活应用的能力.
情感、态度与价值观
1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值;
2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯;
3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感.
教学重点与难点
教学重点:零点的概念及零点存在性的判定.
教学难点:探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.
教学的方法与手段
授课类型新授课教学方法启发式教学、探究式学习.
【方程的根与函数的零点教案】相关文章: