数的整除问题奥数试题及答案

2020-06-24试题

  试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除?如果回答:“可以”,则只要举出一种排法;如果回答:“不能”,则需给出说明.

  考点:数的整除特征.

  分析:根据题意,可采用假设的方法进行分析,100个自然数任意的5个数相连,可以分成20个组,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除,那么会有40个数是3的.倍数,事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数,所以不能.

  解答:假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,

  按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,

  其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.

  从而一共会有不少于40个数是3的倍数.但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数,

  导致矛盾,所以不能.

  答:不能.

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