189次; 802个。
这个数共有189位,每操作一次减少一位。操作188次后,剩下2,再操作一次,剩下1。共操作189次。这个189位数的各个数位上的数字之和是
(1+2+3+…+9)20=900。
由操作的过程知道,添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成9,再添1个球。所以共添球
1899-900+1=802(个)。
30 有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是693,如果把所有这样的分数从大到小排列,那么第二个分数是______.
把693分解质因数:693=3×3×7×11.为了保证分子、分母不能约分(否则,约分后分子与分母之积就不是693),相同质因数要么都在分子,要么都在分母,并且分子应小于分母.分子从大到小排列是11,9,7,1,
8. 从1到100的自然数中,每次取出2个数,要使它们的和大于100,则共有 _____ 种取法.
2500
设选有a、b两个数,且a<b,
当a为1时,b只能为100,1种取法;
当a为2时,b可以为99、100,2种取法;
当a为3时,b可以为98、99、100,3种取法;
当a为4时,b可以为97、98、99、100,4种取法;
当a为5时,b可以为96、97、98、99、100,5种取法;
…… …… ……
当a为50时,b可以为51、52、53、…、99、100,50种取法;
当a为51时,b可以为52、53、…、99、100,49种取法;
当a为52时,b可以为53、…、99、100,48种取法;
…… …… ……
当a为99时,b可以为100,1种取法.
所以共有1+2+3+4+5+…+49+50+49+48+…+2+1=502=2500种取法.
从1-100中,取两个不同的数,使其和是9的倍数,有多少种不同的取法?
从除以9的余数考虑,可知两个不同的数除以9的余数之和为9。通过计算,易知除以9余1的有12种,余数为2-8的为11种,余数为0的有11种,但其中有11个不满足题意:如9+9、18+18……,要减掉11。而余数为1的是12种,多了11种。这样,可以看成,1-100种,每个数都对应11种情况。
11×100÷2=550种。除以2是因为1+8和8+1是相同的情况。
二、解答题:
1.小红到商店买一盒花球,一盒白球,两盒球的数量相等,花球原价是2元钱3个,白球原价是2元钱5个.新年优惠,两种球的售价都是4元钱8个,结果小红少花了5元钱,那么,她一共买了多少个球?
150个
用矩形图来分析,如图。
容易得,
解得:
所以 2x=150
2.22名家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛,已知家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多2人,至少有一名男老师,那么在这22人中,共有爸爸多少人?
5人
家长和老师共22人,家长比老师多,家长就不少于12人,老师不多于10人,妈妈和爸爸不少于12人,妈妈比爸爸多,妈妈不少于7人.女老师比妈妈多2人,女老师不少于7+2=9(人).女老师不少于9人,老师不多于10人,就得出男老师至多1人,但题中指出,至少有1名男老师,因此,男老师是1人,女老师就不多于9人,前面已有结论,女老师不少于9人,因此,女老师有9人,而妈妈有7人,那么爸爸人数是:22-9-1-7=5(人) 在这22人中,爸爸有5人.
妙,本题多次运用最值问题思考方法,且巧借半差关系,得出不等式的范围。
正反结合讨论的方法也有体现。
3.甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁,当甲的岁数是乙的岁数的一半时,丙是38岁,当乙的岁数是丙的岁数的一半时,甲是17岁,那么乙现在是多大岁数?
32岁
如图。
设过x年,甲17岁,得:
解得 x=10,
某个时候,甲17-10=7岁,乙7×2=14岁,丙38岁,年龄和为59岁,
所以到现在每人还要加上(113-59)÷3=18(岁)
所以乙现在14+18=32(岁)。
7. 甲、乙两班的学生人数相等,各有一些学生参加数学选修课,甲班参加数学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的1/3,乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的1/4。那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?
:设甲班没参加的是4x人,乙班没参加的是3y人
那么甲班参加的人数是y人,乙班参加的人数是x人
根据条件两班人数相等,所以4x+y=3y+x
3x=2y x:y=2:3
因此4x:3y=8:9 故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的
列一元一次方程:可假设两班人数都为“1”,设甲班参加的为x,则甲班未参加的为(1-x);则乙班未参加的为3x,则乙班参加的为(1-3x),可列方程:(1-x)/4=1-3x 求x=3/11。
方程演算、设而不求、量化思想都有了,这道题不错。
目标班
名校真卷七
一、填空题:
31 满足下式的填法共有 种?
口口口口-口口口=口口
4905。
由右式知,本题相当于求两个两位数a与b之和不小于100的算式有多少种。
a=10时,b在90 99之间,有10种;
a=11时,b在89 99之间,有11种;
……
a=99时,b在1 99之间,有99种。共有
10+11+12+……99=4905(种)。
算式谜跟计数问题结合,本题是一例。数学模型的类比联想是解题关键。
34 在足球表面有五边形和六边形图案(见右上图),每个五边形与5个六边形相连,每个六边形与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最简整数比是_______ 。
3︰5。
设有X个五边形。每个五边形与5个六边形相连,这样应该有5X个六边形,可是每个六边形与3个五边形相连,即每个六边形被数了3遍,所以六边形有 个。
36 用方格纸剪成面积是4的图形,其形状只能有以下七种:
如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形,那么,这四种图形的编号和的最大值是______.
19.
为了得到编号和的最大值,应先利用编号大的图形,于是,可以拼出,由:(7),(6),(5),(1);(7),(6),(4),(1);(7),(6),(3),(1)组成的面积是16的正方形:
显然,编号和最大的是图1,编号和为7+6+5+1=19,再验证一下,并无其它拼法.