故方程2ln x+x-4=0在(1,e)内只存在唯一的实数解.
17.(12分)某商品在近100天内,商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下:
f(t)=t4+22, 040,tZ,-t2+52, 40100,tZ.
销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是
g(t)=-t3+1123(0100,tZ).
求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高?
解:依题意,该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)=f(t)g(t)
=t4+22-t3+1123, 040,tZ,-t2+52-t3+1123, 40100,tZ.
(1)若040,tZ,则
F(t)=(t4+22)(-t3+1123)
=-112(t-12)2+2 5003,
当t=12时,F(t)max=2 5003(元).
(2)若40100,tZ,则
F(t)=(-t2+52)(-t3+1123)
=16(t-108)2-83,
∵t=108100,
F(t)在(40,100]上递减,
当t=41时,F(t)max=745.5.
∵2 5003745.5,
第12天的日销售额最高.
18.(14分)某商场经营一批进价为12元/个的小商品.在4天的试销中,对此商品的单价(x)元与相应的日销量y(个)作了统计,其数据如下:
x 16 20 24 28
y 42 30 18 6
(1)能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函数解析式;
(2)设经营此商品的日销售利润为P(元),求P关于x的函数解析式,并指出当此商品的销售价每个为多少元时,才能使日销售利润P取最大值?最大值是多少?
解: (1)由已知数据作图如图,
观察x,y的关系,可大体看到y是x的一次函数,令
y=kx+b.当x=16时,y=42;x=20时,y=30.
得42=16k+b, ①30=20k+b, ②
由②-①得-12=4k,
k=-3,代入②得b=90. 所以y=-3x+90,显然当x=24时,y=18;
当x=28时,y=6.
对照数据,可以看到y=-3x+90即为所求解析式;
(2)利润P=(x-12)(-3x+90)=-3x2+126x-1 080=-3(x-21)2+243.
∵二次函数开口向下,
当x=21时,P最大为243.
即每件售价为21元时,利润最大,最大值为243元.