三、解答题:本大题共6小题,共7 0分.
17.(10分)在三角形中有下面的性质:
(1)三角形的两边之和大于第三边;
(2)三角形的中位线等于第三边的一半;
(3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形的内心;
(4)三角形的面积为S=12(a+b+c)r(r为三角形内切圆半径,a、b、c为三边长).
请类比出四面体的有关相似性质.
解析:(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;
(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一;新课]
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心;
(4)四面体的体积为V =13(S1+S2+S3+S4)r(r为四面体内切球的半径,S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积).
18.(12分)已知a>0,b>0,求证b2a+a2b≥a+b.
解析:b2a+a2b-(a+b)=b2a-a+a2b-b
=(b+a)(b-a)a+(a+b)(a-b)b
=(a-b)(a+b)1b-1a=1ab(a-b)2(a+b),
∵a>0,b>0,∴b2a+a2b≥a+b.
19.(12分)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2009年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的.年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-k2t+1(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;
(2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大?
解析:(1)由题意有1=4-k1,得k=3,故x=4-32t+1.
∴y=1.5×6+12xx×x-(6+12x)-t
=3+6x-t=3+64-3t-1-t
=27-182t+1-t(t≥0).
(2)由(1)知:
y=27-182t+1-t=27.5-9t+12+t+12.
由基本不等式
9t+12+t+12≥29t+12t+12=6,
当且仅当9t+12=t+12,
即t=2.5时,等号成立,
故y=27-182t+1-t
=27.5-9t+12+t+12≤27.5-6=21.5.
当t=2.5时,y有最大值21.5.所以2009年的年促销费用投入2.5万元时,该厂家利润最大.
20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2)猜想数列{Sn}的通项公式.
解析:(1)当n=1时,
x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12.
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-12,
于是a2-122-a2a2-12-a2=0,
解得 a2=16.
(2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
Sn2-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代 入上式得
Sn-1Sn-2Sn+1=0①
由(1)得S1=a1=12,S2=a1+a2=12+16=23.
由①可得S3=34,由此猜想Sn=nn+1,n=1,2,3,….
21.(12分)设二次函数f(x)=ax2+b x+c的一个零点是-1,且满足[f(x)-x]f(x)-x2+12≤0恒成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求f(x)的解析式;
解析:(1)由均值不等式得x2+12≥2x2=x,
若[f(x)-x]f(x)-x2+12≤0恒成立,
即x≤f(x)≤x2+12恒成立,
令x=1得1≤f(1)≤12+12=1,故f(1)=1.
(2)由函数零点为-1得f(-1)=0,即a-b+c=0,
又由(1)知a+b+c=1,所以解得a+c=b=12.
又f(x)-x=ax2+12x+c-x=ax2-12x+c,
因为f(x)-x≥0恒成立,所以Δ=14-4ac≤0,
因此ac≥116①
于是a>0,c>0.再由a+c=12,
得ac≤c+a22=116②
故ac=116,且a=c=14,
故f(x)的解析式是f(x)=14x2+12x2+12x+14.
22.(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣 越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式.
解析:(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
∴f(5)=25+4×4=41.
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(n)-f(n-1)=4(n-1),
f(n-1)-f(n-2)=4(n-2),
f(n-2)-f(n-3)=4(n-3),
…
f(2)-f(1)=4×1,
∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]
=2(n-1)n,
∴f(n)=2n2-2n+1.
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