联立直线MN和椭圆的方程:x=ky-65,x24+y2=1,化简得(k2+4)y2-125ky-6425=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1y2=-6425k2+4,y1+y2=12k5k2+4,
又A(-2,0),则AMAN=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0,所以MAN=2.
19.(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦 点的距离分别为7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,|OP||OM|=e(e为椭圆离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,
由已知,得a-c=1,a+c=7,解得a=4,c=3.
椭圆方程为x216+y27=1.
(2)设M(x,y),P(x,y1),其中x[-4,4],
由已知得x2+y21x2+y2=e2,而e=34,
故16(x2+y21)=9(x2+y2),①
由点P在椭圆C上,得y21=112-7x216,
代入①式并化简,得9y2=112.
点M的轨迹方程为y=473(-44),
轨迹是两条平行于x轴的线段.
20.(12分)给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.
解析 设P(x0,y0)(x00),则y20=2x0,
d=|PA|=x0-a2+y20=x0-a2+2x0=[x0+1-a]2+2a-1.
∵a0,x00,
(1)当01时,1-a0,
此时有x0=0时,dmin=1-a2+2a-1=a;
(2)当a1时,1-a0,
此时有x0=a-1时,dmin=2a-1.
21.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10),点M(3,m)在双曲线上.
(1)求双曲线方程;
(2)求证:点M在以F1F2为直径的圆上;