三、数学问题变式的功能：“概念与过程”
数学学习往往要经历“过程”达成，然后转化为“概念”（对象）的认知过程（Sfard,1991；鲍建生，等，2003）。从这个意义上，问题变式也不可避免地扮演过程的操作性和概念的结构性两重角色，鲍建生等（2003）把变式分为“概念性变式与过程性变式”正基于这种考虑。
教学上，问题变式不要无的放矢，为变而变，变式题设计总是围绕数学概念的元素和关系，分别设计区别该元素的题组，围绕“期望达成的概念和程序”而设计“问题变式题组”。变式问题，包含双重目的：概念与过程，即建构概念和技能与发展思维过程，也就是兼顾“内容和过程”，兼顾数学知识基础到高层次思维能力。
例如，我们通过这样的题目：“2个苹果，2个人分，每个人分多少个”“4个苹果，2个人分，每个人分多少个”“6个苹果，2个人分，每个人分多少个”，学习除法概念和除法运算程序。
而通过题组：“1个苹果，2个人分，每个人分多少个”“1个苹果，3个人分，每个人分多少个”“2个苹果，3个人分，每个人分多少个”，同时学习分数概念和除法运算程序。
而两者结合，题组：“个苹果，2个人分，每个人分多少个”“个苹果，2个人分，每个人分多少个”“个苹果，2个人分，每个人分多少个”，则围绕分数除法的概念和分数除法的运算程序，设计新的变式题组。而对于分数除法的概念和运算程序建立，是以“除法概念”和“分数概念”及“除法运算”和“分数运算”为基础的。
事实上，这组题目显示了发展概念和培养过程的相辅相成，具有概念与过程双重性。
因此，问题变式的发展，是为了概念发展的螺旋式改变而设计，通过“结构”问题产生认知“功能”，达成教学“目标”。发展数学认知结构的概念和过程的关系如下图所示。
图2 问题变式的双重目的：概念与过程关系图示
四、问题变式：结构与功能的统一
在学习者眼中，变式题包含的概念（数学结构）是源题目的'重复，是再认（重复性）题目，认知的功能是“巩固”，否则，垂直变式不能区分题目包含的数学概念和关系（数学结构），即增加了新的认知元素，必须区分题目的认知负荷。在学习者眼中，是发展性题目，认知的功能扮演“发展”的角色。问题变式本身展示了结构与功能的统一。我们以一个例子加以说明。
源问题：x2+5x+6
变式题组一：
变式子问题1：x2+6x+8
变式子问题2：y2+5y+6
变式子问题3：x2+10x+16
变式题组二：
a,b取何值时可使下列各式因式分解
变式子问题1：x2+ax+6
变式子问题2：x2+5x+b
变式子问题3：x2+ax+b
变式子问题4：x3+ax+b
变式子问题5：xn+ax+b
根据一般初二学生的认知水平，变式题组一为水平变式题，变式题组二为垂直变式题①。学生的认知过程可以作以下的描述。
1.源问题提供了问题解决的正确图式。其中包括与学习有关的关键成分：规则功能、适用条件，以及在具体情境中的操作过程。学生从源问题x2+5x+6获得十字相乘法的规则和图式认识。
2.对于可以用十字相乘法的数学结构，引出一系列的水平变式“子问题”。经过表面相似问题的解决，学习者就可能会形成一种心理定势，建立起十字相乘法的数学结构，突破源问题数字和字母的限制。
3.接着，通过垂直变式题x2+ax+6，发展原来的数学结构，建立新数学结构。对于新问题x2+ax+6，学生开始反思x2+5x+6=(x+2)(x+3)中x2+5x+6系数5和6与2和3的关系，逐步摆脱例题表面内容（系数5和6）的制约，由表层结构特征过渡到数学结构特征，突破系数的限制，认识到等号左侧一次项系数与等号右侧一次项系数的一一对应关系即a=2+3。
4.同理，通过垂直变式题x2+5x+b会努力地对问题表面特征（系数5和6）的变化进行自我解释，逐步摆脱例题表面内容（系数5和6）的制约，突破系数的限制，认识到等号左侧常数项与等号右侧常数项的一一对应关系即b=2×3［化为x2+5x+b=(x+2)(x+3)］。
5.发展高层次的结构：韦达定理，随即乘胜追击，推广到于三次、四次方程，进一步n次方程的情形。
问题变式的核心是数学结构的学习。它逐步增加认知负荷，逐步驱动高层的数学思维，逐步由表层类比（数字和字母的变化）向结构类比（因式分解的一般规则）转化。它增加了深层策略，把原来的程序知识转化为策略知识，由表层学习向结构学习转化，逐步增加输出深层结构的学习结果，逐步增加对数学本质的深层体会，逐步增加对深层数学价值的体会，使数学学习由起点（例题）到终点（垂直变式题）深层经历。
五、问题变式的问题解决过程理论小结
综上所述，变式本身是对问题结构的学习。水平变式题建立覆盖所有正例并排除所有反例的一般描述的数学结构，垂直变式是条件认知的较深层次的加工，它抽取问题表面特征以外的结构特征，不会受阻于问题的表面特征，构成题目的“结构骨架”。学习者由水平变式题到垂直变式题的解答，建立题目的数学结构，逐步由表层区分过渡到结构区分。水平变式是垂直变式的基础，垂直变式是水平变式的必然发展，二者互相依存，互为补充。
欲从水平变式“过渡到”垂直变式，关键要把握认知负荷的问题，认知负荷太大或太小，不会从水平变式“过渡到”垂直变式，好的课程设计要使题目的难度在学生的最近发展区内，变化题目的表面形式特征，同时控制不变的数学结构，最终让学生掌握“变中的不变”，培养“以不变应万变”的本领。在不断“区分”中，学习数学的“思维”，促进“表层学习向深层学习”方式的培养。课程论和方法论是不可分割的一个整体，从“结构”到“建构”，形成整体“结构”，才会产生整体“功能”。当然，变式的“度”至关重要，变的“度”太小，成了题海战术，变的“度”太大，又跳到另一个极端，学生不能掌控，产生失败感，同样不能产生高层次思维，不能产生认知“功能”。
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