大学线代知识点总结

2020-06-23总结

  线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。以下是“大学线代知识点总结”希望能够帮助的到您!

  01、余子式与代数余子式 a11a12a13(1)设三阶行列式D=a21a22a23,则

  a31a32a33①元素a11,a12,a13的余子式分别为:M11=

  a22a23a32a33,M12=

  a21a23a31a33,M13=

  a22a23a32a33a21a22a31a32

  对M11的解释:划掉第1行、第1列,剩下的就是一个二阶行列式行列式即元素a11的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。

  ②元素a11,a12,a13的代数余子式分别为:A11=(-1)1+1M11 ,A12=(-1)1+2M12 , A13=(-1)1+3M13 . 对Aij的解释(i表示第i行,j表示第j列):Aij=(-1)i+j M ij . (N阶行列式以此类推)

  (2)填空题求余子式和代数余子式时,最好写原式。比如说,作业P1第1题:

  M31=

  0403,A31=(-1)3+1

  0403

  (3)例题:课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题

  02、主对角线 一个n阶方阵的主对角线,是所有第k行第k列元素的全体,k=1, 2, 3? n,即从左上到右下 的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线,即从右上到左下的一条斜线。

  03、转置行列式

  即元素aij与元素aji的位置对调(i表示第i行,j表示第j列),比如说,a12与a21的位置对调、a35与a53的位置对调。

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  04、行列式的性质 详见课本P5-8(性质1.1.1~ 1.1.7) 其中,性质1.1.7可以归纳为这个:

  ? A ,i=k,ai1Ak1+ai2Ak2+ ? +ainAkn= ? (i表示第i行,k表示第k列)

  ? 0 ,i?k熟练掌握行列式的性质,可以迅速的简化行列式,方便计算。 例题:作业P1第2题

  05、计算行列式 (1)计算二阶行列式

  a11a12a21a22a11a12a21a22:

  ①方法(首选):

  a11a12a21a22=a11a22-a12a21(即,左上角×右下角-右上角×左下角)

  ②方法:=a11A11+a12A12=a11a22-a12a21

  例题:课本P14

  a11a12a13(2)计算三阶行列式a21a22a23:

  a31a32a33a11a12a13a21a22a23=a11A11+a12A12+a13A13=a11(-1)1+1M11 +a12(-1)1+2M12 +a13(-1)1+3M13 a31a32a33N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化,0元素较多时方便计算.(r是row,即行。c是column,即列)

  例题:课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题

  (3)n阶上三角行列式(0元素全在左下角)与n阶下三角行列式(0元素全在右上角):

  D=a11a22?ann(主对角线上元素的乘积) 例题:课本P10、作业P3第4小题

  有的题可以通过“从第二行起,将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式 例题:课本P11

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  (4)范德蒙行列式:详见课本P12-13

  (5)有的题可以通过“从第二行起,将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”,得到

  元素全为1的一行,方便化简行列式。 例题:作业P2第1小题、作业P2第2小题

  06、矩阵中未写出的元素 课本P48下面有注明,矩阵中未写出的元素都为0

  07、几类特殊的方阵 详见课本P30-32

  (1)上(下)三角矩阵:类似上(下)三角行列式 (2)对角矩阵:除了主对角线上的元素外,其他元素都为0 (3)数量矩阵:主对角线上的元素都相同 (4)零矩阵:所有元素都为0,记作O

  (5)单位矩阵:主对角线上的元素都为1,其他元素全为0,记作E或En (其行列式的值为1)

  08、矩阵的运算规则 (1)矩阵的加法(同型的矩阵才能相加减,同型,即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同;

  矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同): ①课本P32“A+B”、“A-B” ②加法交换律:A+B=B+A

  ③加法结合律:A+(B+C)=(A+B)+C (2)矩阵的乘法(基本规则详见课本P34阴影):

  ①数与矩阵的乘法: I.课本P33“kA”

  II.kA=knA(因为kA只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式) ②同阶矩阵相乘(高中理科数学选修矩阵基础):

  ?a11a12??b11b12??a11b11?a12b21a11b12?a12b22???a21a22??×??b21b22??=??a21b11?a22b21a21b12?a22b22?? ???????AB?描述:令左边的矩阵为①,令右边的矩阵为②,令计算得到的矩阵为??CD??,则

  ??

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  A的值为:①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素,并将它们相加。

  即A=a11×b11+a12×b21

  B的'值为:①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素,并将它们相加。

  即B=a11×b12+a12×b22

  C的值为:①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素,并将它们相加。

  即C=a21×b11+a22×b21

  D的值为:①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素,并将它们相加。

  即D=a21×b12+a22×b22.

  ?a11a12a13??b11b12b13??a11b11?a12b21?a13b31a11b12?a12b22?a13b32a11b13?a12b23?a13b33???????a21a22a23b21b22b23a21b11?a22b21?a23b31a21b12?a22b22?a23b32a21b13?a22b23?a23b33×=?????? ?a31a32a33??b31b32b33??a31b11?a32b21?a33b31a31b12?a32b22?a33b32a31b13?a32b23?a33b33????????A?描述:令左边的矩阵为①,令右边的矩阵为②,令计算得到的矩阵为?D?G?BEHC??F?,则 I??A的值为:①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素,并将它们相加。

  即A=a11×b11+a12×b21+a13×b31

  B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。

  ③数乘结合律:k(lA)=(kl)A ,(kA)B=A(kB)=k(AB) ④数乘分配律:(k+l)A=kA+lA ,k(A+B)=kA+kB ⑤乘法结合律:(AB)C=A(BC)

  ⑥乘法分配律:A(B+C)=AB+AC ,(A+B)C=AC+BC ⑦需注意的:

  I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵 II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立

  III.一般来讲,(AB)k ≠ A k B k,因为矩阵乘法不满足交换律

  IV.课本P40习题第2题:(A+B)2不一定等于A2+2AB+B2 ,(A+B)2不一定等于A2+2AB+B2,(A+B)(A-B)不一定等于A2-B2 . 当AB=BA时,以上三个等式均成立 (3)矩阵的转置运算规律:

  ① (AT )T=A ② (A±B)T=A T±B T ③ (kA)T=kAT ④ (AB)T=B TAT

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