二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容,利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题,使原本复杂的问题变得容易解决。
例3:若x≥0,lg(ax +2x+1)∈R恒成立,求实数a的取值范围。
解:构造函数g(x)= ax +2x+1,则原问题等价于:当x≥0时,g(x)恒大于0。
若a=0且x≥0,则g(x)= 2x+1>0恒成立;
若a≠0,则g(x)为二次函数,当a<0时,显然当x≥0时不能使g(x)恒大于0,仅当a>0时,要使当x≥0时,g(x)恒大于0,只需Δ<0或△≥0- ≤0g(0)>0,解之得:a>0
∴a的取值范围为[0,+∞)。
3、构建形如f(x)=ax+ 的函数
通过换元、变形,将原问题转化为形如f(x)=ax+ 的函数的最值问题,再合理利用该函数的单调性等性质来解题,常要用到如下结论:
(1)f(x)=ax+ 为奇函数,(2)当a>0,b>0时,f(x)在0, 上递减,在 ,+∞上递增。
例4:若不等式x -5x-6<a(x-4)对于x∈[-1,1]恒成立,求a的取值范围。
解:由x∈[-1,1]知:x-4<0,则原问题等价于:当x∈[-1,1]时, >a恒成立,即(x-4)- +3>a,令t=x-4,则原问题又等价于:当t∈[-5,-3]时,t- +3>a恒成立,构建函数f(t)= t- ,在t∈[-5,-3]上单调递增,∴0≤3+f(t) ≤ ,要使3+ (t- )>a恒成立,只要a<0即可。 二、分离参数
运用不等式的相关知识不难推出如下结论:
若对于x的取值范围内的任何一个数,都有f(x)>g(a)恒成立,则f (x)>g(a),若对于x的取值范围内的任何一个数,都有f(x)<g(a)恒成立,则f (x)<g(a)。
例5:若不等式|x-3|-|x+1|<a在(-∞,+∞)内恒成立,求a的取值范围。 解:构造函数f(x)=|x-3|-|x+1|,则a必须大于f(x)的最大值,由f(x)=-4,x≥32-2x,-1<x<34,x≤-1知,f (x)=4,故a的取值范围为(4,+∞)。
三、特殊赋值
取特殊值的方法,对做选择题很有效,在恒成立问题上也不失为一个好方法。
例7:已知实数a,b变化时,直线l :(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0恒过定点
解:∵直线l 恒过定点,
故令a=1,b=1,得3x+2y=0
a=0,b=1,得x+y-1=0
∴3x+2y=0x+y-1=0
解之得:x=-2y=3,将(-2,3)代入l ,经检验,点恒满足方程(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0。