Ⅲ.探索零指数幂和负整数指数幂的意义
想一想:
10000=104, 16=24,
1000=10(), 8=2(),
100=10(), 4=2(),
10=10(). 2=2().
猜一猜
1=10(), 1=2(),
0.1=10(), =2(),
0.01=10(), =2(),
0.001=10(). =2()
[师]我们先来看“想一想”,你能完成吗?完成后,观察你会发现什么规律?
[生]1000=103, 8=23,
100=102,4=22,
10=101.2=21.
观察可以发现,在“想一想”中幂都大于1,幂的值每缩小为原来的 (或 ),指数就会减小1.
[师]你能利用幂的意义证明这个规律吗?
[生]设n为正整数,10n>1,当它缩小为原来的 时,可得10n× = = = =10n-1;又如2n>1,当它缩小为原来的 时,可得2n× = =2n÷2=2n-1.
[师]保持这个规律,完成“猜一猜”.
[生]可以得到猜想
1=100, 1=20,
=0.1=10-1, =2-1,
=0.01=10-2, =2-2,
=0.001=10-3. =2-3.
[师]很棒!保持上面的规律,大家可以发现指数不是我们学过的正整数,而出现了负整数和0.
正整数幂的意义表示几个相同的数相乘,如an(n为正整数)表示n个a相乘.如果用此定义解释负整数指数幂,零指数幂显然无意义.根据“猜一猜”,大家归纳一下,如何定义零指数幂和负整数指数幂呢?
[生]由“猜一猜”得
100=1,
10-1=0.1= ,
10-2=0.01= = ,
10-3=0.001= = .
20=1
2-1= ,
2-2= = ,
2-3= = .
所以a0=1,
a-p= (p为正整数).
[师]a在这里能取0吗?
[生]a在这里不能取0.我们在得出这一结论时,保持了一个规律,幂的值每缩小为原来的 ,指数就会减少1,因此a≠0.