鸽巢问题优质教学设计2
教学内容:
鸽巢问题(教材第68~69页)。
设计理念:
在教学中,让学生经历将具体问题“数学化”的过程,初步形成模型思想,体会和理解数学与外部世界的紧密联系,发展抽象能力、推理能力和应用能力,这是《标准》的重要要求,也是本课的编排意图和价值取向。
教材分析:
鸽巢问题又称抽屉原理,它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一,从这个原理出发,可以得出许多有趣的结果。这部分教材通过几个直观的例子,借助实际操作,向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在理解这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题“模型化”,会用“鸽巢问题”解决问题,促进逻辑推理能力的发展。
学情分析:
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的,尤其是“鸽巢问题”的逆用,学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难,也缺乏思考的方向,很难找到切入点。
教学目标:
1.知识与技能:通过操作、观察、比较、推理等活动,初步了解鸽巢原理,学会简单的鸽巢原理分析方法,运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。
2.过程与方法:在鸽巢原理的探究过程中,使学生逐步理解和掌握鸽巢原理,经历将具体问题数学化的过程,培养学生的模型思想。
3.情感态度:通过对鸽巢原理的灵活运用,感受数学的魅力,体会数学的价值,提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重点:
理解鸽巢原理,掌握先“平均分”,再调整的方法。
教学难点:
理解“总有”“至少”的意义,理解“至少数=商数+1”。
教学准备:
多媒体课件、扑克牌、笔、笔筒、合作作业纸等。
教学过程:
一、 游戏激趣 ,初步体验。
用扑克牌玩游戏(猜花色)。一副扑克牌共54张,去掉两张王牌,就剩52张。如果从这52张扑克牌中任意抽取5张,我敢肯定地说:“这5张扑克牌至少有2张是同一种花色的,你们信吗?请5名同学各抽一张来验证。
师:如果再请五位同学来抽,我还敢这样肯定地说:抽取的这5张牌中至少有两张是同一花色的,你们相信吗?
师:老师为什么猜的那么准,想知道吗?其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理——鸽巢问题(板书课题)。
二、动手实验,探究新知
今天这节课我们就借助笔和笔筒,做几个有趣的数学实验来研究这个原理。
(一)研究笔数比笔筒数多1的情况。
1.出示例题:把3支笔放在2个笔筒里,该怎样放?有几种不同的放法?
学生上台实物演示。一共有2种摆法,第一种摆法是一个笔筒里放3支,另一个笔筒里没有,记作(3 ,0);第二种摆法是一个笔筒里放2支,另一个笔筒里放1支,记作(2, 1)。
2.提出问题:观察这两种摆法,老师说,“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支笔”,这句话说得对吗?
学生尝试回答,师引导:这句话里“总有一个笔筒”是什么意思?这句话里“至少有2支”是什么意思?
得到结论:从刚才的实验中,我们可以看到3支笔放进2个笔筒,总有一个笔筒至少放进2支笔。
3.如果现在有4支笔放进3个笔筒,又可以怎样放?大家再来摆摆看,看看又有什么发现?
要求:小组合作:
(1)画一画:借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况都表示出来;
(2)找一找:每种摆法中最多的一个笔筒放了几支,用笔标出;
(3)我们发现:总有一个笔筒至少放进了( )支笔。
4.学生汇报,展台展示。
交流后明确:一共有四种摆法。第一种摆法是一个笔筒里放4支,另外两个笔筒里没有,记作(4 ,0 ,0);第二种摆法是一个笔筒里放3支,一个笔筒里放一支,另外一个笔筒里没有,记作(3, 1, 0);第三种摆法是一个笔筒里放2支,另一个笔筒里也放2支,最后一个笔筒里没有,记作(2, 2 ,0);第四种摆法是一个笔筒里放2支,另外两个笔筒里各放一支,记作(2 ,1 ,1,)。
5.小结:刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论,这种方法叫“列举法”,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论,找到“至少数”呢?
学生操作演示,语言描述:把4支铅笔平均放在3个笔筒里,每个笔筒放1支,余下的1支,无论放在哪个笔筒,那个笔筒就有2支笔,所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。(指名说,互相说)
引导发现:
(1)这种分法的实质就是先怎么分的?(平均分)
(2)为什么要一开始就平均分?(均匀地分,使每个笔筒的笔尽可能少一点,方便找到“至少数”),余下的1支,怎么放?(放进哪个笔筒都行)
(3)怎样用算式表示这种方法?算式中的两个“1”是什么意思?
6 .引伸拓展:
(1)7支笔放进6个笔筒,总有一个笔筒至少放进( )支笔。
(2)26支笔放进25个笔筒,总有一个笔筒至少放进( )支笔。
(3)100支笔放进99个笔筒,总有一个笔筒至少放进( )支笔。
学生列出算式,依据算式说理。
7.这么大的数据,一下子就找到了答案,发现了什么规律?
(二)研究笔数比笔筒数多2、多3的情况。
1.出示:如果把5支笔放在3个笔筒里,会有什么结果?
摆一摆,先平均分掉3支,那这剩下的2支笔该怎么分,才能保证至少有几支笔?怎样用算式表示呢?
2.把7支笔放在3个笔筒里,会有什么结果呢?为什么?
(三)研究笔数比笔筒数的2倍多、3倍多等情况。
如果把9支笔放在4笔筒里,把15支笔放在4个笔筒里,分别又会有什么结果?同桌讨论,再请同学说结果和理由。
(四)总结规律。
我们刚才研究了那么多种情况,大家仔细观察算式,想想:“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有几支笔”,应该怎样求?。
(五)介绍鸽巢原理。
同学们,我们今天发现的原理,其实早在200多年前就被德国数学家狄利克雷发现了,请看大屏幕:“鸽巢原理”又称“抽屉原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄利克雷原理”,这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。
三、应用“鸽巢原理”,感受数学的魅力。
1.8只鸽子飞回3个鸽舍,至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么?
2.把5本书放进2个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉至少放进几本书?为什么?
3.我们学校共有705名学生,其中六年(2)班有35名学生。请问下面两人说的对吗?为什么?
(1)我们学校至少有2人的生日是同一天。
(2)六(2)班中至少有3人是同一个月出生的。
4.张叔叔参加飞镖比赛,投了5镖,成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么?
5.课前的游戏,为什么老师可以肯定地说:从52张牌中任意抽取5张牌,至少会有2张牌是同一花色的?你能用所学的抽屉原理来解释吗?
四、课堂总结
1.通过这节课的学习,你有哪些收获?
2.应用鸽巢原理解题思路是什么?
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