2、现在,如何用直线方程和圆的方程判断它们之间的位置关系?
先看以下问题,看看你能否从问题中总结来.
(设计意图:以问题为载体,帮助学生复习、整理已有的知识结构,带着问题进入下一个环节,有效的调动学生的学习兴趣。)
环节2:构建新知
分析:根据初中判断直线与圆的位置关系的两种方法,我们可以利用d和r的大小关系或直线与圆的公共点的个数来判断它们的位置关系。
直线与圆的公共点的坐标即满足直线方程又满足圆的方程,把直线方程与圆的方程联立,
(设计意图:由较简单的问题导出这节课的内容,让学生利用已有的知识,探究用坐标法判断直线与圆的位置关系的方法,一方面可以巩固前阶段所学的知识,另一方面也显示了用代数思想研究几何问题的优越性)
3、构建新知
回顾我们前面提出的问题:如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?
判断直线与圆的位置关系有两种方法:
几何法:根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系来判断.如果d<r,直线与圆相交;
如果d=r,直线与圆相切;如果d>r,直线与圆相离.
代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断.如果有两组实数解时,直线与圆相交;
有一组实数解时,直线与圆相切;无实数解时,直线与圆相离.
(设计意图:让学生通过独立的思考,概括出利用直线与圆的方程来判断它们位置关系的两种方法,可以自己把课堂上所学的零碎的知识点连成知识线,从而加深了学习的印象.)
环节3例题讲解
分析:依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直线与圆的位置关系;
分析:根据直线l与圆C的方程组成的方程组解的情况来判断
这里是利用直线与圆的位置关系的性质来解题,已知直线与圆相切,可知圆心到直线的距离等于圆的半径,直线与圆有一个公共点。
求出交点的坐标目的在于认识到方程组解得意义。让学生体会出用何法解题更为方便。例2让学生运用直线与圆的位置关系的性质解题)结合图形,无论m为何值,点(0,2)的坐标恒满足直线方程,直线恒过这个定点,
m是直线的斜率,满足题目条件的直线就是图上的这两条直线,左边这条直线的方程
是,右边直线的方程为
(设计意图:例1让学生及时的巩固直线与圆位置关系的判断方法.以期达到强化训练的目的,
环节4、拓展提高
另解:(1)因为l:y=a(x-1)+4过定点N(1,4)
N与圆心C(2,4)相距为1
显然N在圆C内部,故直线l与圆C恒相交
(2)在y=ax+4-a中,a为斜率,当a=0时,l过圆心,
显然弦AB的最大值为直径的长,等于6
(设计意图:对学生进行一题多解的训练,有利于提高思维的灵活性,在解决问题过程中,通过利用数形结合的思想,提升对知识的理解,提高分析问题,解决问题的能力。)
环节5、应用演练
练习1、
2、
(设计意图:课堂练习的目的在于及时巩固重点内容,使学生在课堂上就能掌握.
同时强调规范的书写和准确的运算,培养学生严谨认真的数学学习习惯.)
环节6、归纳小结
1、直线与圆的位置关系的判断方法:
几何法: 代数法 :
1、确定圆的圆心坐标和半径r 1、把直线方程带入圆的方程
2、计算圆心到直线的距离d 2、得到一元二次方程
3、判断d与圆半径r的大小关系 3、求出△的值
d>r,直线与圆相离,直线与圆相交
d=r,直线与圆相切,直线与圆相切
d<r,直线与圆相交,直线与圆相离
(设计意图:通过小结,使学生对本节所学的知识系统化、条理化,进一步巩固知识,明确方法.) 作业:
3.已知⊙C:(x-1)2+(y-2)2=2,P(2,-1),过P作⊙C的切线,求切线方程。
(设计意图:,第1、2题是基础题,为了复习巩固这节课的内容,第3题是弹性作业,为学有余力的学生提供发展的空间)
环节6、课后反思与点评:
1、新的课标把直线和圆的位置关系作为独立的章节,说明新课标对这节内容要求有所提高。
2、判断直线与圆的位置关系为了防止计算量过大,一般采取几何的方法,但用方程思想解决几何问题
是解析几何的精髓,是以后处理圆锥曲线问题的通法,掌握好方程的方法有利于培养数形结合的思想。
3、直线与圆位置关系的相关问题如:弦长的求法、圆的切线方程求法以后还要补充。
4、用代数法判断直线与圆的位置关系,不必求出方程组的解,利用根的判别式即可。