基本不等式训练题
1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是( )
A．有最大值－2 B．有最小值2
C．无最大值和最小值 D．无法确定
答案：B
2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是( )
A．400 B．100
C．40 D．20
答案：A
3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．
答案：2 4
4．已知f(x)＝12x＋4x.
(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；
(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.
∴12x＋4x≥212x4x＝83.
当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，
∴当x＞0时，f(x)的最小值为83.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x－4x＝83，
当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．
∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83.
一、选择题
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1
C．2x＋2－x D．x(1－x)
答案：C
2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )
A．32－3 B．－3
C．62 D．62－3
解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.
3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是( )
A．200 B．100
C．50 D．20
解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200 高中英语，当且仅当m＝n时等号成立．
4．给出下面四个推导过程：
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2baab＝2；
②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgxlgy；
③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a ≥24aa＝4；
④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2－xy－yx＝－2.
其中正确的推导过程为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；
②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，
∴4a＋a≥24aa＝4是错误的；
④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )
A．2 B．22
C．4 D．5
解析：选C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有( )
A．最大值64 B．最大值164
C．最小值64 D．最小值164
解析：选C.∵x、y均为正数，
∴xy＝8x＋2y≥28x2y＝8xy，
当且仅当8x＝2y时等号成立．
∴xy≥64.
二、填空题
7．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．
答案：1
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．
解析：1＝x＋4y≥2x4y＝4xy，∴xy≤116.
答案：大 116
9．(2010年山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.
当且仅当x3＝y4时取等号．
答案：3
三、解答题
10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；
(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5
≥2 x＋14x＋1＋5＝9，
当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．
∴x＝1时，函数的最小值是9.
(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1
＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.
∴(x－1)＋9x－1＋2≥2x－19x－1＋2＝8.
当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，
∴y有最小值8.
11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，
同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，
以上三个不等式两边分别相乘得
(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
当且仅当a＝b＝c时取等号．
12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．
总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200
＝800×(x＋225x)＋12000
≥1600x225x＋12000
＝36000(元)
当且仅当x＝225x(x＞0)，
即x＝15时等号成立．
女主人
四位女士在玩一种纸牌游戏，其规则是：（a）在每一圈中，某方首先出一张牌，其余各方就要按这张先手牌的花色出牌（如果手中没有这种花色，可以出任何其他花色的牌）；（b）每一圈的获胜者即取得下一圈的首先出牌权。现在她们已经打了十圈，还要打三圈。
（1）在第十一圈，阿尔玛首先出一张梅花，贝丝出方块，克利奥出红心，黛娜出黑桃，但后三人的这个先后顺序不一定是她们的出牌顺序。
（2）女主人在第十二圈获胜，并且在第十三圈首先出了一张红心。
（3）在这最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。
（4）在这最后三圈的每一圈中，四种花色都有人打出，而且获胜者凭的都是一张“王牌”。（王牌是某一种花色中的任何一张牌：（a）在手中没有先手牌花色的情况下，可以出王牌――这样，一张王牌将击败其他三种花色中的任何牌；（b）与其他花色的牌一样，王牌可以作为先手牌打出。）
（5）在这最后三圈中，获胜者各不相同。