高二数学选修4综合复习题
第一篇:《高二数学选修4》
高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作
圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( )
A.15? B.30? C.45? D.60?
【解析】由弦切角定理得?DCA??B?60?,又AD?l,故?DAC?30?,
第1题图
故选B.
2.在Rt?ABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图共有x个三角形与?ABC相似,则x?( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】2个:?ACD和?CBD,故选C.
3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )
66cm A.11cm B.33cm C.
D.99cm
【解析】设另一弦被分的两段长分别为3k,8k(k?0,)由相交弦定理得3k?8k?12?1,8解得k?3,故所求弦长为3k?8k?11k?33cm.故选B. ABBCAC5???,若?ABC与 4.如图,在?ABC和?DBE中,DBBEDE3D ?DBE的周长之差为10cm,则?ABC的周长为( )
2550E A.20cm B.D.25cm cm C.cm 第4题图 43
【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D.
5.O的割线PAB交O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知
22PA?6,PO?12,AB?,则O的半径为( ) 3
A.4 B
.6 C
.6
D.8
22【解析】设O半径为r,由割线定理有6?(6?)?(12?r)(12?r),解得r?8.故3
选D.
6.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD?AB于点D,
?且AD?3DB,设?COD??,则tan2＝( ) 2第6题图 11 A. B. C
.4? D.3 34
31,从而【解析】设半径为r,则AD?r,BD?r,由CD2?AD?
BD得CD?22??1??,故tan2?,选A. 233
7.在?ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,且DE//BC,?ADE的面积是2cm2,
梯形DBCE的面积为6cm2,则DE:BC的值为( ) A.
B.1:2 C.1:3
D.1:4
【解析】?ADE?ABC,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作
( )个.
A.2 B.3
C.4 D.5
【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D.
9.如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4个这样的
等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,
则四边形ABCD中?A度数为 ( )
第9题图 A.30? B.45? C.60? D.75?
【解析】6?A?360?,从而?A?60?,选A.
10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠
压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑
直径为10mm,若所用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为( )
A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm
【解析】依题意得OA2?AM2?OM2,从而OM?12mm,
故CM?13?12?1mm,选A. 第10题图
212111.如图,设P,Q为?ABC内的两点,且AP?AB?AC,AQ＝AB＋AC,5534
则?ABP的面积与?ABQ的面积之比为( )
1411 B. C. D. 554321【解析】如图,设AM?AB,AN?AC,则AP?AM?AN. 55 A. 第11题图 由平行四边形法则知NP//AB,所以1?ABPAN＝, ?5?ABCAC
?ABQ1?ABP4?．故同理可得?,选B. ?ABC4?ABQ512.如图,用与底面成30?角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的
离心率为 ( )
A．1 BC． D．非上述结论 2第12题图
【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,
1考虑椭圆所在平面与底面成30?角,则离心率e?sin30??.故选A. 2
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________
【解析】圆;圆或椭圆.
14.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O过A、B两点且
与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝?1,
则AC＝
【解析】由已知得BD?AD?BC,BC?CD?AC?(AC?BC)AC,
解得AC?2.
15.如图,AB为O的直径,弦AC、BD交于点P,
若AB?3,CD?1,则sin?APD=
AD【解析】连结AD,则sin?APD?,又?CDP?BAP, APPDCD1??, 从而cos?APDPABA3所以sin?APD??. 316.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值
第16题图 是
30【解析】由图可得R2?()2?(180?135?R)2,解得R?25. 2
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是
O上两点,如果?E?46?,?DCF?32?,试求?A的度数.
【解析】连结OB,OC,AC,根据弦切角定理,可得
1 ?A??BAC??CAD?(180???E)??DCF?67??32??99?. 第17题图 2
18.(本小题满分12分) OCDABP 如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,
E为⊙O上一点,AE?AC,DE交AB于点F,且AB?2BP?4, 求PF的长度.
【解析】连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 F B O B2
? O D C 第 14 题图 第18题图 结合题中条件AE?AC可得?CDE??AOC,又?CDE??P??PFD, PFPD?AOC??P??C,从而?PFD??C,故?PFD?PCO,∴?, PCPOPC?PD12??3. 由割线定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?PO4
19.(本小题满分12分)
F B C
第19题图
已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,
AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于
点E．求证：(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC＝AE·BD．
【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB
∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD
(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC
∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC ∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD＝AE:CD， ∴DE·DC＝AE·BD.
20.(本小题满分12分)
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB2=PE?PF．
【解析】连结PC,易证PC?PB,?ABP??ACP
∵CF//AB ∴?F??ABP,从而?F??ACP
又?EPC为?CPE与?FPC的公共角,
CPPE第20题图 ?从而?CPE?FPC,∴ ∴PC2?PE?PF FPPC
又PC?PB, ∴PB2?PE?PF,命题得证.
21.(本小题满分12分)
如图,A是以BC为直径的O上一点,AD?BC过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点E，G的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,
延长AF与CB的延长线相交于点P. (1)求证:BF?EF；
(2)求证:PA是O的切线； 解答用图 C
(3)若FG?BF,且O
的半径长为求BD和FG的长度. 第21题图
【解析】(1)证明：∵BC是O的直径，BE是O的切线， ∴EB?BC．又∵AD?BC，∴AD∥BE．
易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC． BFCFEFCFBFEF∴???．∴． DGCGAGCGDGAG
∵G是AD的中点，∴DG?AG．∴BF?EF． (2)证明：连结AO，AB．∵BC是O的直径，12选修数学高二
在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE∴AF?FB?EF．∴?FBA??FAB．又∵OA?∵BE是O的切线，∴?EBO?90°．
∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是O的切线．
(3)解：过点F作FH?AD于点H．∵BD?AD，FH?AD，∴FH∥BC． 由(1)，知?FBA??BAF，∴BF?AF．12选修数学高二
由已知，有BF?FG，∴AF?FG，即△AFG是等腰三角形． C
HG1?． DG2
∵FH∥BD，BF∥AD，?FBD?90°，∴四边形BDHF是矩形，BD?FH．
FHFGHG∵FH∥BC，易证△HF∽△GD．∴，即??CDCGDG
BDFG1HG． ??CDCG2DG
BDBD1∵
O的半径长为
∴
BC?∴???． CDBC?BD2
FGHG1解
得BD?
．∴BD?FH?．∵，??CGDG2
1∴FG?CG．∴CF?3FG． 2
在Rt△FBC中，∵CF?3FG，BF?FG，由勾股定理，得CF2?BF2?BC2．
．∴FG?3． ∴(3FG)2?FG2?2．解得FG?3（负值舍去）∵FH?AD，∴AH?GH．∵DG?AG，∴DG?2HG，即
［或取CG的中点H，连结DH，则CG?2HG．易证△AFC≌△DHC，∴FG?HG，G?F2G，CF?3FG．D∥FB，故C由G易知△CDG∽△CBF，CDCG2FG2∴???．
CBCF3FG3
2?
，解得BD?Rt△CFB中，由勾股定理，得
3．］ (3FG)2?FG2?2，∴FG?3（舍去负值）
22.(本小题满分14分)
ACBC?如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB．ABAC
的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部
SS分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果1?2,那么称直线l为该图形的黄金分SS1
割线.
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
(4)如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.
第22题图