初一数学方案设计问题试题及答案
初一数学方案设计问题试题
(2012北海,23，8分)23.某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5。
(1)求出该班男生与女生的人数;
(2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人;②女生人数超过男生人数2人以上。请问男、女生人数有几种选择方案?
【解析】(1)根据题目中的等量关系，设出未知数，列出方程，并求解，得男生和女生的人数分别为30人，25人。
(2)根据题意列出不等式组，并求解。又因为人数不能为小数，列出不等式组的整数解，可以得出有两种方案。
【答案】解：(1)设男生有6x人，则女生有5x人。1分
依题意得：6x+5x=552分
∴x=5
∴6x=30，5x=253分
答：该班男生有30人，女生有25人。4分
(2)设选出男生y人，则选出的女生为(20-y)人。5分
由题意得：6分
解之得：7≤y<9
∴y的整数解为：7、8。7分
当y=7时，20-y=13
当y=8时，20-y=12
答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人;方案二：男生8人，女生12人。8分
【点评】本题是方程和不等式组的应用，使用性比较强，适合方案设计。解题时注意题目的隐含条件，就是人数必须是非负整数。是历年中考考查的知识点，平时教学的时候多加训练。难度中等。
24.(2012年广西玉林市，24，10分)一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10天可以完成任务;若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天.
(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天?
(2)已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元.试问：租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少?请说明理由.
分析：(1)设甲车单独完成任务需要x天，乙单独完成需要y天，根据题意所述等量关系可得出方程组，解出即可;(2)结合(1)的结论，分别计算出三种方案各自所需的费用，然后比较即可.
解：(1)设甲车单独完成任务需要x天，乙单独完成需要y天，由题意可得：,解得：
即甲车单独完成需要15天，乙车单独完成需要30天;(2)设甲车租金为a，乙车租金为b，则根据两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元可得：
,解得：.
①租甲乙两车需要费用为：65000元;②单独租甲车的费用为：15×4000=60000元;
③单独租乙车需要的费用为：30×2500=75000元;综上可得，单独租甲车租金最少.
点评：此题考查了分式方程的应用，及二元一次方程组的知识，分别得出甲、乙单独需要的天数，及甲、乙车的租金是解答本题的关键.
27.(2012黑龙江省绥化市，27，10分)在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造.根据预测，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元.
⑴改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元?
⑵该县A、B两类学校共有8所需要改造.改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所.
【解析】解：(1)等量关系为：①改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元;
②改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元;
设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，
则，解得
答：改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍所需资金130万元.
(2)不等关系为：①地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210;
②国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770.
设A类学校应该有a所，则B类学校有(8-a)所.
则，解得
∴1≤a≤3，即a=1，2，3.
答：有3种改造方案.方案一：A类学校有1所，B类学校有7所;
方案二：A类学校有2所，B类学校有6所;
方案三：A类学校有3所，B类学校有5所.
【答案】⑴改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是90万元、130万元;
⑵共有三种方案.方案一：A类学校1所，B类学校7所;
方案二：A类学校2所，B类学校6所;
方案三：A类学校3所，B类学校5所.
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系.理解“国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元”这句话中包含的不等关系是解决本题的关键.难度中等.
22.(2012山东莱芜，22，10分)(本题满分10分)
为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、2支钢笔共需100元;4个文具盒、7支钢笔共需161元.
(1)每个文具盒、每支钢笔个多少元?
(2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠;钢笔10支以上超出部分“八折”优惠.若买x个文具盒需要元，买x支钢笔需要元;求、关于x的函数关系式;
(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱.
【解析】(1)设每个文具盒x元，每支钢笔y元，可列方程组得
，解之得
答：每个文具盒14元，每支钢笔15元.……………………………………………………..4分
(2)由题意知，y1关于x的函数关系式为y1=14×90%x，即y1=12.6x.
由题意知，买钢笔10以下(含10支)没有优惠，故此时的函数关系式为y2=15x.
当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时函数关系式为y2=15×10+15×80%(x-10)