【例1】已知一个多边形，它的外角和等于内角和的四分之—，求这个多边形的边数.
【解析】本题根据多边形的内角和(与边数n有关)与外角和(恒为360°，与边数无关)的一种关系，利用己知条件列出关于n的一元一次方程，求解边数n.
【答案】设多边形的边数为n，因为它的内角和等于(n-2)180°，外角和等于360°，根据题意，得(n-2)180=300.
解得n=10.
答:这个多边形的边数是10.
【例2】己知一个多边形的各个内角都是120°，求这个多边形的边数.
【解析】此题既可用多边形内角和公式列方程求解，也可以由多边形的外角和等于360°列方程求解.不论用什么方法求解，都要抓住问题的实质，列方程求解是解这类题的常用方法.
【答案】解法一设这个多边形的边数为n，则有(n-2)180°=n150
解得n=12
解法二设这个多边形的边数为n，则有
n(180-150)=360
解得n=12
【例3】凸多边形的每一个内角都小于180°，那么凸多边形中最多可以有几个钝角?几个锐角?几个直角呢?
【解析】由于凸多边形的边数不确定，可以由边数较少的情形来探索，再归纳出一般性的结论.
【答案】设凸多边形的边数为n，当n=3时，三角形最多只有一个钝角;当n=4时，因为四边形的内角和为360°，故不可能有四个钝角，但现在可以有3个钝角，当n≥5时，看正n边形，它的所有内角都相等，则所有的外角也都相等，由于n边形的外角和为360°，故每一个外角为，由于n≥5，<90°,即正n边形的每一个外角均为锐角.故n边形(n≥5)可有n个钝角.
当n=3时，三角形最多有三个锐角(如锐角三角形);当n=4时，四边形不可能四个角都是锐角，否则内角和小于360°;当n≥5时，多边形不可能多于3个锐角，否则若有四个内角为锐角，则这四个锐角的外角为钝角，其外角和大于360°.故当n≥5时，多边形最多有三个内角是锐角.故凸多边形中锐角最多有三个.
当n=3时，最多只有一个直角(直角三角形);
当n=4时，最多有四个直角(矩形);当n≥5时，最多有三个直角，否则若有四个直角，则四个外角为直角，从而这个多边形的外角和大于360°.故凸多边形最多有四个直角.
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