八、考察点分析(约5分钟)
问题7:分析集合中的考察点,函数中的考察点.
问题8:知识的横纵联系.
学生回答问题要点预设如下:
1.集合中元素的互异性.
2.,则集合A可以是空集.
3.交集与并集的区分,即何时取交,何时取并,特别是含参的分类讨论问题.
4.函数的单调性与奇偶性的证明.
5.作业与试卷中出现的问题.
6.学生分析本章的考察点,主要分析考察的知识点、思想方法等方面.
设计意图: 让学生了解考察点,才能知道命题者的考察意图,才能选择合适的知识与思想方法来解答.例如如果试题中出现集合,无论试题以什么形式出现,考察点基本是集合间的基本关系、集合的运算.
九、典型问题分析
例1:设集合
(1)若,求实数的值;
(2)若,求的值;
(3)若,求的值.教师点评,同时板书.
(1)答案: 或;
(2)答案: 或;
(3)答案: .
由学生分析问题的考察点,包括知识与数学思想.(预设有以下几个方面)从知识点来分析,这是集合问题.考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基本关系、集合的运算等.学生在解第1个问时,可能漏掉特殊情况.第2、3问可能会遇到一定的障碍,可以给学生时间进行充分的思考.
设计意图:让学生体会到分析考察点的好处,养成解题之前分析考察点的习惯.能顺利的找到问题的突破口,为后续的解答扫清障碍.通过一题多问、一题多解、多题归一,让学生主动的形成发散思维,主动应用转化与化归的思想.
例2:已知函数是定义在R上的奇函数,当时,求函数的解析式.
变式:函数是偶函数
教师对生回答进行点评.并板书.
学生分析考察点、解题思路,如果不完善,其他学生补充.
学生回答问题要点预设如下:
1.考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系.
2.函数的奇偶性的定义.
3.转化与化归的思想.
法一:本题即求,函数的解析式,可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象,把本题转化为二次函数的图象与解析式的问题.
法二:本法更具有一般性,已知
时,函数的解析式,要分析时的函数对应关系,即当一个数小于零时,函数值应当怎样计算.由于函数具有奇偶性,即一个数与它的相反数的函数值之间有关系,,所以可以研究的函数值.
设计意图:学生在思考的过程中,体会数形结合思想.函数的奇偶性与函数的图象的关系,可以根据奇偶性绘制函数图象,也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性,两者是相辅相承的.体会转化与化归的思想,把要研究的转化为已知的.考察函数的单调性的证明,函数的奇偶性与单调性之间的关系,体会知识的纵向联系.体会转化与化归的思想、特殊与一般的数学思想,让学生体会到问题后面隐含的本质.
例3:已知是偶函数,而且在上是减函数,判断在上是增函数还是减函数,并证明你的判断.
变式1:函数为奇函数
变式2:你能分析奇函数(偶函数)在对称区间上的单调性的关系吗?试从数形两个方面来分析.
学生分析考察点、解题思路,如果不完善,其他学生补充.
学生回答问题要点预设如下:
1.考察点为函数的奇偶性与单调性的'关系.
2.函数的单调性的定义.
3.数形结合、转化与化归的思想.
法一:通过函数的图象分析.
法二:把要研究的范围转化为已知的范围.
设计意图:明确函数的性质是一个有机的整体,不是一个个知识点的简单罗列.同时体会知识的纵向联系与横向联系,在第二个方法中进一步感受转化与的思想.通过两个变式的研究过程,学生体会研究探索性问题的一般思路,即通过特殊情况分析结果,再对结果的正确性进行证明.
例4:求在区间上的最大值和最小值.
变式:在区间上的最大值是1,求的值.
教师用几何画板演示,二次函数对称轴的变化对函数的最值的影响.
答案: 时,最大值是,最小值是;时,最大值是,最小值是;时,最大值是,最小值是;时,最大值是,最小值是.
变式答案:或.
学生通过直观的演示,思考问题的考察点与解答策略.
学生回答考察点分析(预设):
1.二次函数的图象与性质.
2.分类与整合.
3.逆向思维.
学生回答解题思路分析(预设):
研究二次函数的对称轴方程与所给的区间的关系.
设计意图:通过几何画板的动态性,给学生直观的感知,从而建立最近发展区,进而突破难点.
通过对二次函数的研究,学生巩固了上位知识函数的图象与性质,充分体会数形结合的优势.学生在解答变式的过程中,体会逆向思维与正向思维的关系,体会函数与方程思想,感受到动静结合.
十、课后小结
1. 知识网络
2. 知识的来龙去脉
3. 问题中体现的数学思想
4. 分析问题的基本思路
学生总结,教师板书.
设计意图: 让学生把知识窜串,形成网络,能迅速而准确的选用知识来解答问题.
十一、课后总结
巩固所学,补充课上的不足.主要是本节课中没有涉及的问题,本节课中理解有困难的问题.
1.已知是定义在R上的函数,设,.
(1)试判断的奇偶性;(2)试判断的关系;
(3)由此你猜想得出什么样的结论,并说明理由?
2.设函数,,
(1)讨论的奇偶性;(2)求的最小值.
3.已知集合,,
,是否存在实数,同时满足.
4.将长度为20 cm的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为多少?
十二、教学反思
在复习课中,教师要充分调动学生学习的自主性,让学生独立制定出适合自己的知识结构、整理出自己在本章学习中出现的问题.在课堂上,学生通过交流与合作,体会解决问题成功的喜悦.从而养成良好的学习习惯、树立信心.感受知识的横向联系与纵向联系,洞悉知识的本质、问题的根源,从而形成深刻的印象,少出现或避免出现类似的问题.通过分析知识的来龙去脉,明确知识的用途.通过典型题分析,回顾主干知识,重要的数学思想,感受知识与数学思想的有机融合.
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