二、选择题：(本大题20分)本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分， 否则一律得零分。
15、设 ，则 是 的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
16、给出的是计算 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( )
A.
B.
C.
D.
17、(理)已知向量 , ， ,则 与 夹角的最小值和最大值依次是 ( )
A. B. C. D.
(文)在 中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足 ，则科网 等于 ( )
A. B. C. D.
18、(理)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆 和双曲线 ，P是它们的一个交点，则F1PF2的形状是 ( )
A.锐角三角 形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随 变化而变化
(文)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆 和双曲线 ， 是它们的一个交点， 则 的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
三、解答题(本大题共5小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
19、(本题满分12分)
(理)小明购买一种叫做买必赢的彩票，每注售价10元，中奖的概率为2%，如果每注奖的奖金为300元，那么小明购买一注彩票的期望收益是多少元?
(文)在 中，角 所对的边分别是 ，若 ， ，求 的面积.
20、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
(理)，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形， ，PA 平面ABCD， E，F分别是BC，PC的中点。
(1) 求异面直线PB与AC所成的角的余弦值;
(2) 求三棱锥 的体积。
(文)棱锥的底面是正三角形，边长为1，棱锥的一条侧棱与底面垂直，其余两条侧棱与底面所成角都等于 ，设 为 中点。
(1)求这个棱锥的侧面积和体积;
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
21、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
已知数列 是各项均不为 的等差数列，公差为 ， 为其前 项和，且满足
， .数列 满足 ， 为数列 的前n项和.
(1)求 、 和 ;
(2)(理)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围;
(文)是否存在实数 ，使对任意的 ，不等式 恒成立 ?若存在，请求出实数 的取值范围;若不存在，请说明理由。
22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
(理)定义：对函数 ，对给定的正整数 ，若在其定义域内存在实数 ，使得 ，则称函数 为 性质函数。
(1) 判断函数 是否为 性质函数?说明理由;
(2) 若函数 为2性质函数，求实数 的取值范围;
(3) 已知函数 与 的图像有公共点，求证： 为1性质函数。
(文)定义：对函数 ，对给定的正整数 ，若在其定义域内存在实数 ，使得 ，则称函数 为 性质函数。
(1) 若函数 为1性质函数，求 ;
(2) 判断函数 是否为 性质函数?说明理由;
(3) 若函数 为2性质函数，求实数 的取值范围;
23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分其中①6分、②2分。
设抛物线 的焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与抛物线交于 两点，已知 .
(1)求抛物线 的方程;
(2)(理)设 ，过点 作方向向量为 的直线与抛物线 相交于 两点，求使 为钝角时实数 的取值范围;
(文)过点 作方向向量为 的直线与曲线 相交于 两点，求 的面积 并求其值域;
(3)(理)①对给定的定点 ，过 作直线与抛物线 相交于 两点，问是否存在一条垂直于 轴的直线与以线段 为直径的圆始终相切 ?若存在，请求出这条直线;若不存在，请说明理由。
(理)②对 ，过 作直线与抛物线 相交于 两点，问是否存在一条垂直于 轴的直线与以线段 为直径的圆始终相切?( 只要求写出结论，不需用证明)
(文)设 ，过点 作直线与曲线 相交于 两点，问是否存在实数 使 为钝角?若存在，请求出 的取值范围;若不存在，请说明理由。
高三数学下学期期中试卷：长宁市试卷答案
一、填空题(共14题，每题4分，共56分)
1、2 2、 3、 4、(理) (文) 5、(理) (文) 6、(理) (文)4 7、(理)2 (文)
8、(理) (文)8 9、(理) (文)2 10、(理) (文) 11、(理)①②③④ (文)4 12、 13、(理)7 (文)1 14、1
二、选择题(共4题，每题5分，共20分)
15、B 16、A 17、(理)C (文)D 18、B
三、解答题
19、(本题满分12分)
(理)解： 2%+(-10) 98% 8分
=-4(元) . 10分
答：所求期望收益是-4元。 . 12分
(文)解：由条件 ， ， 。
. 4分
， ，
. 8分
。
. 12分
20、(本题满分14分，第(1)小题8分，第(2)小题6分)
(理)解： (1)建立所示的空间直角坐标系，则 ，
， ，. 4分
设 与 所成的角为 ， ，. 6分
异面直线PB与AC所成角的余弦值为 。. 8分
(2) 。
. 14分
(文)解： (1) ， ，
， ，. 2分
， ，
，. 3分
，. 5分
. 6分
(2)取 中点E，连接DE,则 ，
为异面直线 与 所成角(或其补角)。.8分
中， ，. 10分
设 ，则 ，. 12分
因此异面直线 与 所成角的大小为 。
. 14分
21、(本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)
解：(1) .. 1分
， ，当 时， 不满足条件，舍去.因此 .. 4分
, , 。
. 6分
(理)(2)当 为偶数时， ，
，当 时等号成立， 最小值为 ，
因此 。 . 9分
当 为奇数时， ，
在 时单调递增， 时 的最小值为 ，
。 . 12分
综上， 。 . 14分
(文)(2) ，
. 8分
，当 时等号成立， . 10分[来源:学科网]
最小值为 ， . 12分
因此 。 . 14分 22、(本题满分16分，第(1)小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
(理)解：(1)若存在 满足条件，则 即 ，
. 2分
， 方程无实数根，与假设矛盾。 不能为
k性质函数。 . 4分
(2)由条件得： ，. 5分
即 ( ，化简得
，. 7分
当 时， ;. 8分
当 时，由 ，
即 ，
。
综上， 。
. 10分
(3)由条件存在 使 ，即 。.11分
, ,
. 12分
,. 14分
令 ，
则 ，. 15分
, 为1性质函数。
. 16分
(文)解：(1)由 得 ，. 2分
， 。 . 4分
(2)若存在 满足条件，则 即 ，
. 7分
， 方程无实数根，与假设矛盾。 不能为
k性质函数。 . 10分
(3)由条件得： ，. 11分
即 ( ，化简得
， . 13分
当 时， ; . 14分
当 时，由 ，
即 ，
。
综上， 。. 16分
23、(本题满分18分，第(1)小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
解： (1)由条件得 ， 抛物线C的方程为 ;
. 4分
(理)(2)直线方程为 代入 得 ，
设 ，则 ，
。. 6分
为钝角， ，即
，
，
. 8分
因此 ，. 9分
综上得 。
. 10分
(文)(2)直线方程为 代入 ， ，
. 6分
恒成立。设 ，则 ，
. 7分
，. 9分
。. 10分
(理)(3)①设过 所作直线方程为 代入 得
， .11 分
设 则 ，
， 中点 ，. 12分
。. 13分
设存在直线 满足条件，则 , . 14分
对任意 恒成立，
无解， 这样的直线不存在。 . 16分
②当 时，存在直线 满足条件;.17分
当 且 时，直线不存在。 .18分
(文)(3)设所作直线的方向向量为 ，则直线方程为 代入
得 ，设 ， .
. 12分
又 ，则 ， 为钝角， ，. 14分
即 ，
，该不等式对任意实数 恒成立，.16分
因此 .
. 17分
又 ，因此，当 时满足条件。
. 18分