多边形的内角和检测试题及解析

2018-09-12试题

  【例1】已知一个多边形,它的外角和等于内角和的四分之—,求这个多边形的边数.

  【解析】本题根据多边形的内角和(与边数n有关)与外角和(恒为360°,与边数无关)的一种关系,利用己知条件列出关于n的一元一次方程,求解边数n.

  【答案】设多边形的边数为n,因为它的内角和等于(n-2)180°,外角和等于360°,根据题意,得(n-2)180=300.

  解得n=10.

  答:这个多边形的边数是10.

  【例2】己知一个多边形的各个内角都是120°,求这个多边形的边数.

  【解析】此题既可用多边形内角和公式列方程求解,也可以由多边形的外角和等于360°列方程求解.不论用什么方法求解,都要抓住问题的实质,列方程求解是解这类题的常用方法.

  【答案】解法一设这个多边形的边数为n,则有(n-2)180°=n150

  解得n=12

  解法二设这个多边形的边数为n,则有

  n(180-150)=360

  解得n=12

  【例3】凸多边形的每一个内角都小于180°,那么凸多边形中最多可以有几个钝角?几个锐角?几个直角呢?

  【解析】由于凸多边形的边数不确定,可以由边数较少的情形来探索,再归纳出一般性的结论.

  【答案】设凸多边形的边数为n,当n=3时,三角形最多只有一个钝角;当n=4时,因为四边形的内角和为360°,故不可能有四个钝角,但现在可以有3个钝角,当n≥5时,看正n边形,它的所有内角都相等,则所有的外角也都相等,由于n边形的外角和为360°,故每一个外角为,由于n≥5,<90°,即正n边形的每一个外角均为锐角.故n边形(n≥5)可有n个钝角.

  当n=3时,三角形最多有三个锐角(如锐角三角形);当n=4时,四边形不可能四个角都是锐角,否则内角和小于360°;当n≥5时,多边形不可能多于3个锐角,否则若有四个内角为锐角,则这四个锐角的外角为钝角,其外角和大于360°.故当n≥5时,多边形最多有三个内角是锐角.故凸多边形中锐角最多有三个.

  当n=3时,最多只有一个直角(直角三角形);

  当n=4时,最多有四个直角(矩形);当n≥5时,最多有三个直角,否则若有四个直角,则四个外角为直角,从而这个多边形的外角和大于360°.故凸多边形最多有四个直角.

  总分100分时间60分钟成绩评定________________

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