所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.
由题设知OA=3,OO1=,O1C=1,
所以,
从而, 又O1E=OO1·sin30°=,
⑴显然可得MN∥平面ABC,∵平面MNC平面ABC=,∴MN∥
⑵∵PC⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC,作MQ⊥AC,则MQ⊥平面ABC,
作QD⊥于D,则MD⊥,MD的长即为M到的距离
在Rt△ACB中,可求得,又,∠QCD=30?,
∴,,于是
20.⑴作AO⊥BC交BC的延长线于O,∵面ABC⊥面BCD,∴OA⊥面BCD,连OD,则∠ADO就是AD与平面BCD所成的角,可求得∠ADO=45?
⑵作OE⊥BD于E,连AE,则BD⊥AE,
∴∠AEO就是二面角A-BD-C的平面角的补角,
∵∠ABO=60?,∴,,∵∠EBO=60?,∴
在Rt△AOE中,,∴二面角A-BD-C的正切值为-2
21. (1)证明:取CD中点M,连结OM,在矩形ABCD中
,又,则。连结EM,
于是四边形EFOM为平行四边形
∴ FO//EM
又 ∵ FO平面CDE,且EM平面CDE,∴ FO//平面CDE
(2)证明:连结FM,由(1)和已知条件,在等边中,CM=DM,EM⊥CD且。因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM
∵ CD⊥OM,CD⊥EM ∴ CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO
而FMCD=M,所以平面CDF
22(I)证明:连结OC
在中,由已知可得
而
即
平面
(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中,
是直角斜边AC上的中线,
异面直线AB与CD所成角的大小为
(III)解:设点E到平面ACD的距离为
在中,
而
点E到平面ACD的距离为