【典型例题】
例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.
(2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.
解：设方程为 .
所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为 ，求以 为焦点且过点 的椭圆方程 .
解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程.
解：设方程为
例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且 、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).
解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、 在 轴上，
则 =|OA|-|O |=| A|=6371+439=6810
解得 =7782.5， =972.5
.
卫星运行的轨道方程为
例3、已知定圆
分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：
上式可以变形为 ，又因为 ，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆
解：知圆可化为：圆心Q(3，0)，
设动圆圆心为 ，则 为半径 又圆M和圆Q内切，所以 ，
即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以 ，故动圆圆心M的轨迹方程是：
例4、已知椭圆的焦点是 |和|(1)求椭圆的方程;
(2)若点P在第三象限，且 =120，求 .
选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.
解：(1)由题设| |=2| |=4
(2)设 ，则 =60-
由正弦定理得：
由等比定理得：
.
说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答
例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向 轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的中点M的轨迹(若M分 PP?@之比为 ，求点M的轨迹)
解：(1)当M是线段PP?@的中点时，设动点 ，则 的坐标为
因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 所以点
(2)当M分 PP?@之比为 时，设动点 ，则 的坐标为
因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，
例6、设向量 =(1， 0)， =(x+m) +y =(x-m) +y |+| (I)求动点P(x，y)的轨迹方程;
(II)已知点A(-1， 0)，设直线y= (x-2)与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得 ?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.
解：(I)∵ =(1， 0)， =(0， 1)， | =6
上式即为点P(x， y)到点(-m， 0)与到点(m， 0)距离之和为6.记F1(-m， 0)，F2(m， 0)(0
|PF1|+|PF2|=6|F1F2|
又∵x0，P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.
∵ 2a=6，a=3
又∵ 2c=2m， c=m，b2=a2-c2=9-m2
所求轨迹方程为 (x0，0
( II )设B(x1， y1)，C(x2， y2)，
而y1y2= (x1-2)? (x2-2)
= [x1x2-2(x1+x2)+4]
[x1x2-2(x1+x2)+4]
= [10x1x2+7(x1+x2)+13]
若存在实数m，使得 成立
则由 [10x1x2+7(x1+x2)+13]=
可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ①
消去y，得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ②
因为直线与点P的轨迹有两个交点.
由①、④、⑤解得m2= 9，且此时△0
但由⑤，有9m2-77= 0与假设矛盾
不存在符合题意的实数m，使得
例7、已知C1： ，抛物线C2：(y-m)2=2px (p0)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当ABx轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)若p= ，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.
解：(Ⅰ)当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1， )或(1，- ).
此时C2的焦点坐标为( ，0)，该焦点不在直线AB上.
(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时，由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).
因为C2的焦点F( ，m)在y=k(x-1)上.
所以k2x2- (k2+2)x+ =0 ②
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③
由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1+x2=
又m=- m= 或m=-
当m= 时，直线AB的方程为y=- (x-1);
当m=- 时，直线AB的方程为y= (x-1).
例8、已知椭圆C： (a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e.直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 = .
(Ⅰ)证明：(Ⅱ)若 ，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程;
(Ⅲ)确定解：(Ⅰ)因为A、B分别为直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A(- ，0)，B(0，a).
(Ⅱ)当 时， a=2c
由△MF1F2的周长为6，得2a+2c=6
a=2，c=1，b2=a2-c2=3
故所求椭圆C的方程为
(Ⅲ)∵PF1l PF1F2=90BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 |PF1|=C.
设点F1到l的距离为d，由
即当(注：也可设P(x0，y0)，解出x0，y0求之)