空间向量的数量积及其应用说课稿

2020-07-21说课稿

空间向量的数量积及其应用说课稿

  一、教材分析:

  (一) 教材的地位、作用:

  向量作为一种基本工具,在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识,可以解决不少复杂的的代数几何问题。《空间向量数量积及其应用》,计划安排两节课时,本节课是第2课时。也就是,在有了平面向量数量积公式,空间向量坐标表示,以及空间向量数量积的基础知识之后,本节课是进一步去认识、掌握空间向量数量积的变形公式,然后,围绕着空间向量的几何应用展开讨论和研究。

  通常,按照传统方法解立体几何题,需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力,学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题,可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题,为研究立体几何提供了新的思想方法和工具,具有相当大的优越性;而且,在丰富学生思维结构的同时,应用数学的能力也得到了锻炼和提高。

  (二) 教学目标:

  知识目标:① 掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式;

  ② 运用公式解决立体几何中的有关问题。

  能力目标:① 比较平面、空间向量,培养学生观察、分析、类比转化的能力;

  ② 探究空间几何图形,将几何问题代数化,提高分析问题、解决问题的能力。

  情感态度、价值观目标:

  ① 通过师生的合作与交流,体现教师为主导、学生为主体的教学模式;

  ② 通过空间向量在立体几何中的应用,提高学生的空间想象力,培养学生探索精神和创新意识,让学生感受数学,体会数学美的魅力,激发学生学数学、用数学的热情。

  (三)教学重点、难点:

  重点:空间向量数量积公式及其应用。

  难点:如何将几何问题等价转化为向量问题;在此基础上,通过向量运算解决几何问题。

  二、教法、学法分析:

  教法:采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式;

  学法:体现自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流等形式。

  三、教学过程分析:

  根据二期课改的精神,本着“以学生发展为本”的教学理念,结合学生实际,对教学内容作了如下的调整:基于教材中主要是运用向量夹角求异面直线所成的角,所以,首先让学生掌握教材所要求的基本面;其次,鉴于向量兼容了代数、几何的特色,有着其独特的魅力和发展前景,为进一步让学生感受“向量法”的优势,安排了两个分别运用向量的“代数运算”和“几何运算”来处理空间几何问题的典型例题,为解决空间的度量、位置关系问题找到一种新方法,进一步拓展了学生的思维渠道。以下,是我制定的教学流程:

  创设情境,提出问题 类比猜想,探求新知 公式运用,巩固提高 回顾小结,整体感知 课外探究,激发热情

  教学过程如下:

  (一) 创设情境:

  给出问题一:已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AE=EA1,

  D1F= ,如何确定 的夹角?

  [设计意图]:问题的给出,一时之间可能会使学生感到突然,但预计应该会让他们联想到平面向量的夹角公式,由此作一番类比猜想,起到温故知新的作用。

  [处理过程]:

  设问:平面向量的夹角问题如何求得的?

  是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间?公式的形式是否会有所变化?

  学生活动:回顾平面向量数量积、向量夹角公式及其坐标表示;类比猜想,认识空间向量的夹角问题。

  (二) 建构数学:(板书)

  对于空间两个非零向量

  (三) 公式运用:

  1、问题一的解决:

  ①学生活动:解决上述问题。

  ②.变式运用:已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

  AE=EA1,D1F= ,求BE、FD所成的角?

  [设计意图]:初步体会立几法、向量法来解决几何问题,并注意区分两个向量夹角与两条异面直线间的夹角。

  [处理过程]:(由以往教学实践,部分学生可能想到用传统的几何方法)

  设问:如何用向量方法求BE、FD所成的角?

  (引导学生建立空间直角坐标系,求得B、D、E、F的坐标,进一步得到 的坐标,最后代入空间向量夹角公式…计算得出的向量夹角是钝角,而异面直线成锐角。)

  [评价]:

  ① 异面直线所成的角可由向量的夹角来解决,可见,解决立体几何的有关问题时,方法并不唯一。在此,可以比较向量法和几何法,选择适当方法,解决问题。

  ② 两个向量夹角与两条异面直线间的夹角是有区别的。

  2.问题二的探究:

  如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,

  AC=1,CB= ,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的

  两条对角线交点为D,B1C1中点为M。

  (1)求证:CD⊥平面BDM;

  (2)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。

  [设计意图]:通过立几法、向量法的尝试,让学生明显感受到运用向量法的优越性。

  [处理过程]:

  ① 学生活动:让学生先试行用传统方法解决问题,估计不少学生会感到有一定困难。

  [设问]:类似于上题做法,能否用向量法解决这一问题?

  ② 学生活动:进入思考讨论

  ③ 相互分析交流——达成共识:

  (i) 证明线面垂直可转化为证线线垂直,进一步转化为证向量间的垂直,即向量的数量积等于零;

  (ii) 求二面角的平面角,转化为求那两条与二面角的棱垂直的射线所成的角,在此,可构造两向量(提醒其方向,及向量始点的自由、不唯一性),然后求其夹角,从而解决问题。

  ④ 解题过程:

  [评价]:“传统解法”需作辅助线,有时不易作出;而使用“向量解法”,程序化强,便于操作,求解的'关键在于建立适当的空间直角坐标系(基本原则:使图中尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于用坐标表示相关的点及向量),然后利用坐标系确定各相关的点及向量坐标,再借助向量坐标运算法则及公式,无需添加辅助线,即可达到解题的目的。

  3.小结,利用空间向量解决立体几何中有关问题的一般步骤:(学生回答,教师补充,板书)

  (1)适当地构建空间直角坐标系;

  (2)用坐标表示相关的点、空间向量;

  (3)进行空间向量的运算;

  (4)体炼共性,转化为几何结论。

  (四) 归纳总结:

  引导学生总结本节课的收获,相互交流。

  (五) 课外探究:

  (这是2000年高考题)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的

  底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,

  当 的值是多少时,能使A1C⊥平面C1BD,请给出证明。

  [设计意图]:这是2000年高考第18题第3小题,是个探索型问题。把它放在这里,一方面:在高二阶段,接触到高考题,学生的兴趣颇高,可调动学生的学习热情,增强学生的主体意识;另一方面,解题中,再次让学生感受到:单纯用立体几何知识解答较繁,而利用向量法去思考,思路清晰,目标明确,从而大大降低了求解的难度,同时亦可激发他们不断求知、不断探索的欲望。

  (六) 布置作业

  [板书设计]

  课题引入: 问题一的解决: 课外探究:

  空间向量数量积、夹角公式:

  问题二的解决: 布置作业:

  用向量解几何题的步骤:

  四、教学反思:

  本节课的设计,力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中,以问题为载体,学生活动为主线,为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。例题内容的安排上,注意逐步推进,力求使教师的启发引导与学生的思维同步,顺应学生学习数学的过程,促进学生认知结构的发展;另外,课外探究题给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地,让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中,注意到培养学生合作交流的意识和能力。

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